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En las investigaciones hasta el dia hechas acerca de lossignos de la numeracion (únicos geroglíficos que en los pue-blos del antiguo continente se hayan conservado á la par conla escritura literal, anatomía fonética de la palabra), se hatratado mas bien de la forma individual de los signos, que delespíritu de los métodos por medio de los cuales ha consegui-do el entendimiento humano espresar cantidades con mayoró menor sencillez. Tan mezquino ha sido el punto de vistade mirar este objeto, como el que por largo tiempo reinó enla comparacion de las lenguas, cuando mas bien se conside-raba la frecuencia de ciertos sonidos y de ciertas terminacio-nes, ó la forma de las raices, que la estructura orgánica de susgramáticas. Llevo trabajando algunos años con objeto de pre-sentar en general los sistemas de cifras que usaron diferentespueblos antiguos y modernos. El conocimiento de ciertas ci-fras de los Aztekas (Méjicanos) y de los Muyscas (habitantesde la llanura de Cundinamarca), que hallé en mis viajes; eldescubrimiento que hizo Tomás Young de la cifra egipcia, cu-yos signos sabemos que no todos espresan por yuxtaposicion el |218| múltiplo de los grupos; la cifra gobar (de polvo) de los árabes,poco notada aún, descubierta por Silvestre de Sacy en un ma-nuscrito de la Biblioteca de París; las comparaciones que ten-go hechas entre estos últimos signos de numeracion y las ci-fras mejicanas y chinas; la certidumbre que han dado de sí lasgramáticas publicadas en la India, de que las cifras y letrasempleadas como signos de numeracion aquende y allende delGanges no solo son de forma enteramente distinta, sino quetambien son totalmente distintos los sistemas de cifras mismos,tengan ó no valor de posicion; el método indio, en fin, desco-nocido del todo, que se halla en un escolio del monje griego Neófitos, todo forma un conjunto de materiales que pueden daralguna luz sobre nuestro sistema de numeracion llamado ára-be. En una memoria que el año de 1819 leí en la Academia deInscripciones y Bellas Letras de París, me propuse demostrarcómo era que en pueblos que abreviaban el método de la simpleyuxtaposicion, escribiendo (como los Mejicanos en sus ligadu-ras de 4 veces 13 ó 52 años, los Chinos, los Japones y los Ta-moules) esponentes ó indicadores encima de los signos de nume-racion; estos mismos indicadores, suprimiendo los signos de gru-pos colocados en serie horizontal ó vertical, hubieran podido ori-ginar el admirable sistema indio del valor de posicion. El usoantiguo de cuerdas ó cordones para ayudar la memoria y pa-ra contar, debió favorecer á la propagacion de dicho sistema.Sueltos los cordones, como los quippos de los Tártaros, Chinos,Egipcios, Peruanos (1) y Mejicanos, se mudaban en rosarios cris-tianos, piadosas máquinas de calcular (2); tendidos en mar-cos forman el suanpan de toda el Asia central, el abacus de los Romanos y de los Tuscios (3), y los instrumentos de la aritmé-tica palpable de las razas eslavas (4). Los sistemas de cordones ó

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(1) Para saber el uso de los quippos con objeto de contar los peca-dos en el confesonario, V. Acosta, Historia natural de las Indias, lib. 6,cap. 8; el Inca Garcilaso, lib. 6, cap. 9; Freret, Mem. de la Acad., tom.6, pág. 609.(2) Klaproth, Asiat. Mag., t. 2, s. 78.(3) Otfried Muller, Elrusker, tom. 2, pág. 318.(4) El rosario se llama en ruso tschotki; la tabla de calcular con cor-dones (el suanpan de los Tártaros), tschalii. |219| de alambres del simple suanpan asiático, representan grupos masó menos subidos de un sistema de numeracion, sean decenas,centenas y millares, sean grados, minutos y segundos de ladivision sexagesimal. El espíritu del método es uno mismo. Lasperlas de cada cordon son los indicadores de los grupos; uncordon sin ninguna indica cero, y dicen sunya (sanscr.) sifr, ómejor sifron sihron (árabe, segun Meninski: prorsus vacuum).No puedo probar históricamente que el origen del valor de po-sicion dado por los Indios á las nueve cifras fué realmente elque acabo de indicar, pero creo haber abierto el camino parallegar á descubrirlo. Cuanto cabe esperar del estudio de laoscura historia del ensanche de las fuerzas del humano enten-dimiento, oscuridad que incita á aclararla, es llegar á colum-brar probabilidades por el estilo. En los Anales de Física y Química (tom. 12, pág. 93) sepublicó un breve estracto de la Memoria que leí en la Acade-mia de Inscripciones. El manuscrito entero lo posee Cham-pollion, proponiéndose publicarlo junto con otros descubrimien-tos mucho mas importantes por él hechos en Turin, concernien-tes á los diferentes métodos de las cifras egipcias. De entoncesacá he seguido completando de cuando en cuando mi primertrabajo; pero como no puedo esperar á tener descanso suficien-te para publicarlo en toda su estension, trataré de esponer si-quiera los principales resultados que arroja. En vista del nue-vo cuanto acertado vuelo que ha tomado el estudio de las len-guas, en vista del creciente comercio con los pueblos del Asiameridional y occidental, quizás no dañe discutir problemasque tan de cerca se rozan con la marcha que sigue el enten-dimiento humano y con los brillantes adelantamientos de lasmatemáticas. Uno de los geómetras mas insignes de nuestrostiempos y de todos los tiempos, el ilustre autor de la Mecánicaceleste, decia (1) : «De la India nos vino el ingenioso método de«espresar todos los números con diez caracteres, dándoles á un

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(1) La-Place, Espos. del sist. del mund., lib. 5, cap. 1. Con este jui-cio contrasta singularmente la opinion vertida por Delambre en su po-lémica sobre el mérito de la antigua aritmética india, tal cual aparece|220| «tiempo valor absoluto y de posicion; pensamiento delicado é«importante, tan sencillo hoy, que apenas percibimos su mérito.«Pero esta misma sencillez, y la facilidad suma que en cuales-«quier cálculos proporciona, ponen á nuestro sistema de arit-«mética en primera fila entre los inventos útiles; y todavía se«apreciará mas y mas la dificultad de discurrirlo, consideran-«do que no ocurrió á ingenios como los de Arquimedes y Apo-«lonio, dos de los hombres mas grandes que honran á la an-«tigüedad.” Las observaciones siguientes demostrarán en miconcepto que el método indio podia derivar sucesivamente deotros anteriores, y que están hoy todavía en uso en el Asiaoriental. La lengua, hablando en general, determina la escritura; yla escritura, bajo ciertas condiciones examinadas por Silvestrede Sacy y por mi hermano, reobra sobre la lengua; lo mismoque las maneras de contar, tan distintas en los diferentes pue-blos, y los geroglíficos numerativos, se influyen íntima y mú-tuamente. Sin embargo, no siempre es consiguiente en to-do rigor esta recíproca influencia; no siempre siguen lossignos de numeracion los mismos grupos de unidades que lalengua; no siempre ofrece esta los mismos puntos de para-da (los mismos intervalos quinarios) que aquellos. Pero reu-niendo cuanto la lengua (nombres de número) y la gráficanumérica presentan en las zonas mas apartadas, cuanto hadiscurrido la inteligencia humana sobre las relaciones cuan-titativas, se hallan entonces en la escritura numérica de unaraza las irregularidades, aisladas al parecer de la lengua deotra raza. Y debemos añadir, que cierta torpeza en las partesde la lengua y de la escritura tocantes á la numeracion nopasa de ser falaz medida de lo que pomposamente se llama estado de cultura de la humanidad. En este punto se ven enpueblos distintos, iguales complicaciones y contrastes quelos que presentan en otros. Junto con variadísimos gradosde cultura intelectual y de constituciones políticas, cuándo

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en la Lilawati de Bhascara Acharya. (Hist. de la Astron. ant., tom. 1.°,pág. 543.) No es verosimil que la lengua sola lleve á suprimir los sig-nos de los grupos.|221| tienen escritura literal, cuándo solo signos ideográficos; yariqueza abundante de formas gramaticales, de flexionesderivadas orgánicamente del sonido radical, ya lenguas ca-si faltas de flexiones, y de formas torpes, digámoslo así, desdesu infancia. Asi es que la accion recíproca del mundo in-terior y esterior (accion cuyas causas primeras determinan-tes subsisten ocultas en las tinieblas de un tiempo mítico)empuja al género humano único de naturaleza en direccionesá cual mas divergentes, y lo suele hacer por lo comun ir-resistiblemente, y se conserva esta divergencia aun cuando porefecto de grandes revoluciones cósmicas se aproximen geo-gráficamente familias de lenguas á cual mas heterogéneas.Pero ciertas semejanzas, ciertas conexiones que á inmensasdistancias se encuentran en las formas gramaticales, en losensayos gráficos para espresar números grandes, dan testi-monio de la unidad del género humano, de la preponde-rancia de cuanto nace de la inteligencia íntima y de la co-mun organizacion de la humanidad. Viajeros que vieron que contando se juntaban cantos ó se-millas en montones de á 5 ó 20, pretenden que muchas na-ciones no cuentan pasados 5 ó 20. Asi pudiera pretenderseque los Europeos no cuentan pasados 10, porque 17 v. gr.consta de 10 y de 7 unidades. En naciones de las mas ci-vilizadas del Occidente, en los Griegos y Romanos por ejem-plo, recuerdan todavía las lenguas la costumbre de formarmontones ó grupos, y de aqui las espresiones psephizein, ponerecalculum, calculum detrahere. Grupos de unidades presentanal contar puntos de parada; y pueblos muy distintos, en virtudde comun organizacion corporal (cuatro estremos, y cada unodividido en cinco partes), se paran bien en una mano, bienen las dos, ó bien en las manos y los pies. Segun esta dife-rencia de los puntos de parada, se forman grupos de 5, de 10y de 20. Singular es que, tanto en los Mandingas de Africacomo en los Vascos y como en las razas kimricas (gálicas) delantiguo continente, se hallen grupos de 20. En la lengua chib-cha de los Muyscas, 11, 12 y 13 se llaman: pie uno (quihiehaata), pie dos (quihieha bosa), pie tres (quihieha mica), com-puestos de quihieha ó qhieha (pie) y de las tres primeras uni- |222| dades, ata, bozha ó bosa y mica. El numerativo pie indica 10,porque se pasa al pie despues de haber recorrido contandoambas manos. Veinte de consiguiente en el sistema de lenguasá que pertenece la de los Muyscas se llama pie diez ó casilla,(gueta), quizás porque contando se usaban granos de maiz enlugar de cantos, y un montoncito de maiz recordaba un grane-ro. De la palabra casa, gueta ó veinte (los dos pies y las dosmanos), se forman luego 30, 40, 80, del modo siguiente: veinte mas diez, dos veces veinte, cuatro veces veinte, en un todocomo las espresiones célticas que pasaron á las lenguas roma-nas, cuatro veinte, quince veinte, y las mas raras seis veinte, sieteveinte, ocho veinte. En francés no se usan dos veinte y tres vein-te, bien que en el dialecto gálico ó céltico de la Bretaña occi-dental, de ugent veinte se forman, daou-ugent, dos veinte ó 40, tri-ugent, tres veinte ó 60, y aun deh ha nao ugent, 190, ó diez con nueve veintenas (1). Pudiera citar otros ejemplos notables de analogía de lalengua con la geroglífica numerativa; podria sacarlos de layuxtaposicion, de la sustraccion de las unidades que se po-nen gráficamente delante del signo del grupo, de grados in-termedios de 5 á 15, en pueblos que cuentan por grupos de10 ó de 20. En tribus americanas muy atrasadas todavía,como los Guaranis y los Lulos, 6, 7 y 8 se nombran cuatrocon dos, cuatro con tres, y cinco con tres. Los Musas, algomas civilizados, dicen veinte (ó casa) con diez por 30, como los Kymros del pais de Gales dig (diez) or urgain (con veinte), ylos Franceses sesenta y diez por 70. En todas partes, entre los Etruscos, Romanos y Mejicanos, como entre los Egipcios, se ha-llan adiciones por yuxtaposicion; las lenguas ofrecen tambien

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(1) Davies, Celtic Researches, 1804, p. 321; Legodinec, Gramáticacelto-bretona, p. 55. En el dialecto céltico ó kymrico del pais de Gales,5 se nombra pump, 10 deg, 20 ugain, 30 deg ar ugain (10 y 20), 40 den-gain, 60 trigain. (William Owen, Dict. of the Welsh language, vol. 1,p. 134.) Segun el mismo sistema de veintenas se dice en vascuence: bi 2, lau 4, amar 10, oguai 20, birroguai 40, lauroguai 80, berroguetamar 50,esto es 40 y (ata) diez. (Larramendi, Arte de la lengua vascongada, 1729,pág. 38.)|223| formas sustractivas ó minorativas; entre los Indios se halla enel sanscrit, unavinsati 19, unusata 99; en los Romanos, undeviginti (unus de viginti) 19, unde octaginta 79, duo de quadra-ginta 38; en los griegos, cikosi deonta henos 19, y pentekontadüoin deontoin 48, ó sea dos menos de cincuenta. Esta mismaforma minorativa de la lengua pasó á la gráfica numérica,poniendo caractéres á izquierda de los signos de grupos 5,10, y aun de sus múltiplos, v. g.: 50 ó 100 (IV y IΛ, XLy XT para designar 4 y 40 los Romanos y los Tuscios.) Enciertas inscripciones raras romanas, recojidas por Marini (1),se ven cuatro unidades delante del 10, como IIIIX, para de-signar 6. Luego veremos que hay razas indias que tienen mé-todos gráficos en los cuales el valor de posicion, segun la po-sicion ó direccion de los signos, indica adicion y multiplica-cion, al paso que en los Tuscios y Romanos la posicion es adi-tiva ó sustractiva. En los citados sistemas indios (usando cifrasromanas), IIX indica veinte, y XII doce. En muchas lenguas, los grupos normales 5, 10, 20 se lla-man una mano, dos manos, mano y pie (los Guaranis dicen mbombiade). Recorridos contando los dedos de ambos estre-mos, se toma el hombre entero por símbolo de 20; v. g.: en lalengua de los Yarcnos, pueblo que vive á orillas del rio Apace, que desagua en el Orinoco, 40 se nombra dos hombres, noenijemme, de noemi dos, y jemme hombre. En persa, pentscha sig-nifica el puño, y pendj cinco, derivado de la voz sanscrit pantscha. Segun observa Bopp, de esta voz viene la latina quinque, como de tschatur (sanscrit) viene quatuor. El pluralde tschatur es tschatvaras, que se acerca mucho á la formadórico-eolia tettares; porque la ch india, pronunciada comoen inglés tsch, se muda en t en las formas griegas, y asi tscha-tvaras se muda en tatvaras, y pantscha en penta (en griego pente, dialecto eolio): pempe, de donde pempezein, contar porcinco ó por los dedos. En latin corresponde la q al tsch indio,y asi tschatur y pantscha se mudan en quatuor y quinque. Lapalabra pantscha, ni aun en sanscrit significa nunca mano,

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(1) Iscrizioni della villa di Albano, pág. 193; Herbás, Aritméticadelle nazioni, 1786, pág. 11—16.|224| sino tan solo el número 5. Sin embargo, pantschasatcha esuna espresion descriptiva que designa la mano como miembro de cinco ramas. Asi como la palabra (con singular sencillez en las lenguasde la América meridional) designa como puntos de paradalos grupos 5, 10, 20, lo mismo advertimos iguales grupos enla geroglífica numerativa. Los Romanos y los Tuscios tienen ci-fras simples para designar 5, 50, 500. Se ha conservado elsistema quinario junto con el denario. En la lengua (mejicana)de los Aztekas, se hallan no solo signos de grupos, v. g., paradesignar 20 una bandera, el cuadrado de 20 ó 400 una pluma llena de granos de oro (servia de moneda en algunas provin-cias mejicanas), el cubo de 20 ú 8000, un costal (xiquipilli)con 8000 granos de cacao dentro (tambien servia para loscambios), sino tambien (porque la bandera está dividida encuatro cuarteles, y dada de color la mitad ó las tres cuartaspartes) cifra para designar la mitad de 20 ó 10, los ¾ de20 ó 15, ó como si dijéramos dos manos y un pie. Pero enninguna parte se presenta prueba tan notable de la recí-proca influencia entre escritura y lengua como en la India. En sanscrit, el valor de posicion de las unidades entra hastaen la lengua: esto es, los Indios tienen cierto método figura-tivo de espresar números con objetos de los cuales se cono-ce un número determinado. Surga (sol), v. g., significa 12,porque en los mitos indios se suponen doce soles que siguenel orden de los meses. Los dos Aswinas (Castor y Polux), quese hallan tambien entre los naktschatras y mansiones luna-res, espresan 2; manu significa 14. Para espresar 1214, di-cen surgmanu, compuesto de los símbolos de 12 y 14. Pro-bablemente manusurga signifique 1412, y aswinimanu 214.La numeracion del sanscrit es tan perfecta, que tiene unavoz sola para diez millones, koti, lo mismo que la lengua qquschna (peruana), que no cuenta por grupos de 20, tieneuna voz sola (hunu) para espresar un millon. Si, como dice Ovidio, no contamos por decenas quia totdigiti, per quos numerare solemus, tuviese el hombre los estre-mos con seis divisiones, hubiera discurrido una escala duode- |225| naria, grupos de 12 que presentan la gran ventaja de divisio-nes sin fracciones por 2, 3, 4 y 6, como los usan los Chinosdesde los tiempos mas remotos para medir y pesar. De estas reflexiones acerca de la relacion existente entrela lengua y la escritura, entre los numerativos y los signos nu-méricos, pasemos á hablar de estos últimos. Repito que no ha-blaré tanto de la formacion heterogénea de tal ó cual elemen-to (cifra), como del espíritu de los métodos empleados por lasdiferentes naciones para espresar cantidades numéricas: ha-blaré solo de la figura y forma de las cifras en cuanto pue-dan influir en raciocinios tocantes á la identidad ó heteroge-neidad de los métodos. Porque los modos de proceder paraespresar múltiplos puros ó mistos de grupos denarios funda-mentales (v. gr., 4n, 4n 2 ó 4n+7, 4n 2+6n, 4n 2+6n+5) sondiversísimos; y los vemos usados, ya por ordenacion (valorde posicion) por varios pueblos indios, ya por simple yuxta-posicion, como en los Tuscios, Romanos, Mejicanos y Egipcios; yapor coeficientes puestos al lado en los habitantes del Mediodíade la península India que hablan la lengua tamoul; ya porciertos esponentes ó indicadores puestos encima de los signosde grupos en los Chinos, Japones y Griegos; ya al revés porcierto número de ceros ó de puntos sobrepuestos á nueve ci-fras para indicar el valor relativo ó de posicion de cada ci-fra, siendo, por decirlo asi, signos de grupos puestos encimade las unidades, como en la cifra gobar de los Arabes y en elsistema de cifras indias, esplicado por el monje Neófitos. Los cinco métodos que se acaban de citar son totalmente in-dependientes de la figura de las cifras; y á fin de que resaltebien esta independencia, no usaré otros signos sino los emplea-dos comunmente en aritmética y álgebra, y asi se fijará me-jor la atencion en lo esencial, que es el espíritu del método.Con motivo de otro asunto bien distinto del presente, relativoá la serie regular y por lo comun periódica de las curvas geog-nósticas (adiciones al Ensayo geognóstico sobre el lugar de lasrocas), traté de probar que las notaciones pasigráficas puedencontribuir á generalizar las ideas. Se acostumbra distinguir en los métodos gráficos de lospueblos: 1.° Signos independientes de las letras del alfabeto. |226| 2.° Letras, que por cierta colocacion, por ciertas rayas ó pun-tos añadidos, ó como iniciales de los numerativos (1), indicanel valor numérico. No cabe duda de que las razas helénicas,asi como las semíticas ó aramaicas (entre estas los mismos Ara-bes hasta el siglo V despues de la hegira, antes de recibir lascifras de los Persas), en los tiempos de su mayor cultura seservian de unos mismos signos como letras y como cifras. Enel nuevo continente hallamos dos naciones lo menos, los Azte-kas y los Muyscas, que tenian cifras sin poseer una escrituraliteral. Los geroglíficos usados por los Egipcios para las unida-des, decenas, centenas y millares no dependen tampoco alparecer de los fonéticos. La cifra pehlwi de la Persia antiguaen las nueve unidades primeras, es independiente del alfabe-to, lo mismo que sucedia entre los Tuscios, los Griegos de lostiempos mas antiguos y los Romanos. Anquetil advirtió ya queel alfabeto zend, cuyos 48 elementos hubieran podido facili-tar la espresion de los números, no se ve usado como cifra,y que en los libros zends están espresados los números conla cifra pehlwi y con las voces zends. Si trabajos posterioresconfirmasen esta falta de una cifra zend, vendrian en apoyode la opinion de que atendida la afinidad íntima de las len-guas zend y sanscrit, debió separarse el pueblo Zend de los In-dios cuando todavía ignoraban estos el valor de posicion de lascifras. En el pelhwi, de 9 en adelante, constan de letras lossignos de grupos 10, 100 y 1.000. Dal es 10, re junto con za 100, re junto con ghain 1.000. Considerando cuán poco sa-bemos del conjunto de cifras que el género humano usa, infe-

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(1) La cifra diwani de los Arabes, compuesta únicamente de mono-gramas ó abreviaturas de numerativos, presenta el ejemplo mas compli-cado de semejante escritura de iniciales. De dudar es que las C y las Mde los Tuscios y Romanos fueron iniciales tomadas de las lenguas tusciay romana. (Leslie, Philos. of Arith., p. 7-9,211; Debrosses, t. 1. p. 436; Hervás, p. 32-35; Otfried Muller, Etrusker, p. 304-318.) La cruzgriega rectangular, en todo parecida al signo chino de 10, en las inscri-ciones mas antiguas designa mil (Boerk, Corp. inscript. grœc., vol. 1,p. 23), y es solo la forma mas antigua del chi. (Nuev. trat. de diplom., por dos monjes de San Mauro, vol. 1, p. 678.)|227| rimos que la division de las mismas en cifras literales y cifras propiamente tales, es tan incierta y esteril como la de laslenguas en monosílabas y polisílabas, abandonada mucho hápor los verdaderos filólogos. ¿Quién es capaz de decidir conacierto si la cifra tamoul de las Indias meridionales, que no ad-mite valor de posicion, escepto el signo de 2, difiere entera-mente del empleado en los manuscritos sanscrits, á no derivartal cifra del alfabeto tamoul mismo, puesto que parece verseen este, sino el signo de grupo de 100, cuando menos elde 10 (la letra ya) y la cifra 2 (la letra u)? La cifra telou-gon (1), admitiendo el valor de posicion que tambien se usa enla parte meridional de la península, difiere singularmente enlos signos de 1, 8 y 9 de todas las cifras indias que hasta eldia conocemos, al paso que concuerda en los de 2, 3, 4 y 6.Sin duda se esperimentó primero la necesidad de espresargráficamente números, y asi es que los signos numéricos for-man parte de todos los mas antiguos gráficos. Los instrumen-tos de aritmética palpable que Leslie en su ingeniosa obra ThePhilosophy of Aritmethic., 1817, presenta enfrente de la figu-rativa ó gráfica, son: las dos manos del hombre, montoncitosde cantos (calculi, psephoi), semillas, cuerdas separadas y connudos (cuerdas para calcular, quippos de los tártaros y delPerú), los suanpan en marcos y tablas de abacus, máquina decalcular de los pueblos eslavos con bolas ó granos en fila.Todos estos instrumentos manifestaban las maneras primitivasde designar gráficamente grupos de órdenes distintos. Una ma-no, una cuerda con nudos ó bolas corredizas designan lasunidades hasta 5, ó hasta 10 ó hasta 20. La otra mano indi-ca cuántas veces al contar se ha pasado por encima de loscinco dedos de la primera (pampehesthei); cada dedo de la se-gunda, ó sea cada unidad, espresará por tanto un grupo de 5.Lo mismo sucede con dos cuerdas de nudos que con dos ma-nos; y pasando á los grupos de 2.°, 3.° y 4.° orden, igualrelacion de grupos superiores é inferiores se verifica en las

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(1) Campbell, Grammar of the teloogoo language, Madras, 1816, p. 4,208. El telougon es el idioma que por error se llamaba gentoo, y losindígenas lo llaman trilinga ó telenga. |228| cuerdas de calcular tirantes en marcos y con bolas, el suan-pan del Asia antigua, que bien pronto pasó en forma de abax óde tabula logística á los pueblos occidentales (acaso lo lleva-ron egipcios en tiempos de la confederacion pitagórica). Los koua’s, que son mas antiguos que la actual escritura china, yaun las líneas paralelas nudosas, parecidas á la pauta músi-ca interrumpida de los libros mágicos (raml) del Asia interior y de Méjico, no parecen ser mas que proyecciones gráficas delas mismas cuerdas de calcular y mnemónicas (1). En el suan-pan asiático ó en el abacus (que usaban los Romanos mas quelos Griegos (2), quienes progresaron mas en la gráfica numéri-ca), al lado de las series denarias que estaban en progresiongeométrica, se conservaban tambien series quinarias. Junto ácada cuerda de los grupos ú órdenes n, n 2, n 3, habia otra maschica, que designaba cinco de las bolas de la grande con unasola (3). Los chinos parece que desde los tiempos mas remo-tos consideraron arbitrariamente una cuerda cualquiera de laserie de las paralelas como la cuerda de las unidades, de suer-te que bajando y subiendo obtenian fracciones decimales, nú-meros enteros y potencias de 10. ¡Cuánto tardaron en cono-cerse en el Occidente las fracciones decimales (á principios

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(1) En el Oriente llaman raml, arte de la arena, al arte nigromán-tico. Líneas seguidas ó cortadas y puntos sirven de elementos para guiaral adivino. (Richardson and Wilkins, dictionn. Persian and Arabic, 1806,t. 1, p. 482.) El notable manuscrito, real y verdaderamente mejicano,lleno de unas como notas de música, y que se conserva en Dresde, fuetenido á primera vista por un raml oriental por un persa ilustrado queme visitó. Despues he descubierto kouas efectivamente mejicanos y dibu-jos lineales en forma de notas de música, muy parecidos al citado, en va-rios manuscritos geroglíficos de origen azteka, y en las esculturas de Pa-lenque, estado de Guatemala. En la cifra china de estilo antiguo, el signode grupo 10, una perla en una cuerda, está tomado evidentemente del quippu (á modo de proyeccion).(2) Nicomaque en Ast., theologumena arithm., 1817, p. 96. En losnegocios económicos de la edad media, la tabla de calcular (el contador)(abax) se trocó en exchequer. (3) Lo mismo que en el abacus romano. En el chino usaban 5 y 2bolas, y separaban las que no se contaban.|229| del siglo XVI), cuando mucho tiempo hacia que conocian allíla aritmética palpable del Oriente! (1) Los Griegos no pasabanen la escala ascendente mas allá de la unidad sino en el sis-tema sexagesimal de grados, minutos y segundos; y como notenian n-1, ó sean 59 signos, observaban solo el valor de po-sicion por filas de á dos números. Examinando el origen de los números, vemos que median-te pilas de cantos ó de las cuerdas de las tablas de contar lle-nas de bolas, se escribian y leian transitoriamente númeroscon bastante regularidad. Las impresiones que dejaban talesoperaciones influirian sin duda en los primeros rudimentos dela gráfica numerativa. En los geroglíficos históricos ritualesy nigrománticos de los Mejicanos, las unidades hasta 19 (elprimer signo simple de grupo es 20) están unas junto á otrasen forma de granos gruesos coloreados; y lo singularísimo esque el cálculo va de derecha á izquierda, como la escritu-ra semítica. Se nota perfectamente este orden en 12, 15 y 17,donde la série primera contiene 10, y la segunda no está com-pleta del todo. En los monumentos helénicos mas antiguos, enlas inscripciones sepulcrales Tuscias entre los Romanos y los Egipcios (lo tienen probado Thomas Jourg, Jomard y Champo-llion) están designadas las unidades con líneas perpendiculares.Entre los chinos y en algunas monedas verdaderamente feniciasdescritas por Eckel (t. 3, p. 410), están horizontales las mis-mas líneas hasta 4. Los Romanos (despreciando el signo degrupo quinario) solian juntar en las inscripciones hasta 8 lí-neas como unidades: de ello presenta muchos ejemplos Mari-ni en su notable escrito Monumenti dei fratelli Arvali. Las ca-bezas de clavos que servian para arreglar el año romano anti-guo (Annales antea in clavis fuerunt, quos ex lege vetusta figebatPrœtor maximus; Plin., VII, 40) pudieran haber dado los pun-tos de unidades que se hallan entre los Mejicanos; y con efec-to, se ven (al lado de las líneas horizontales chinas y fenicias)

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(1) Acerca de los primeros ensayos de notacion decimal hechos por Miguel Stifelius de Eslingen, Slerin de Brujas y Bombelli de Bolonia, v. Leslie, Phil. of arithm., p. 134.|230| en las subdivisiones de las onzas y de los pies. Los puntos yrayas, 9 ó 19 en la escala denaria ó vicesimal (escala de lasmanos ó de las manos y pies) del antiguo y del nuevo conti-nente, son la notacion mas grosera del sistema de yuxtaposicion.Se cuentan las unidades mas bien que se leen. La existencia in-dependiente, la individualidad, digámoslo asi, de ciertos gru-pos de unidades como notaciones, no empieza hasta los nume-rativos alfabéticos de las razas semíticas y helénicas, ó hastalos Tibetanos y los pueblos indios que espresan 1, 2, 3 y 4 consignos particulares é ideográficos. En el pehlwi de la Persia an-tigua se presenta una transicion singular de la yuxtaposiciongrosera de signos de unidades, á la existencia aislada de gero-glíficos compuestos é ideográficos. Aparece claro el origen delas primeras nueve cifras en el número de incisiones ó dientes;5 hasta 10 son solo enlaces de los signos 2, 3, 4, sin que vuel-va á parecer el signo 1. En los sistemas realmente indios delas cifras devanagari, persa y arabe-europeo, no se ven al pa-recer contracciones de 2 y 3 unidades, sino en 2 y 3, y deseguro no en cifras mayores que en la península india difie-ren entre sí con toda regularidad. Hablando de los números indios, debo decir mi sentir so-bre esta denominacion, y sobre las antiguas preocupacionesde creer que la India posee cifras de forma única, con esclu-sion de los numerativos alfabéticos, que en toda la India sehalla conocimiento del valor de posicion y no del uso de sig-nos de grupos particulares para n, n 2, n 3..... Lo mismo que,cual dice mi hermano, se designa sin razon el sanscrit con losnombres de lengua india, lengua india antigua, puesto que enla península india hay lenguas antiquísimas y que en nadaderivan del sanscrit, es en general muy vaga la espresion ci-fra india, cifra india antigua, tanto respecto de la forma delas cifras como de la índole de los métodos, empleándose yala yuxtaposicion, ya coeficientes, ya el simple valor de posi-cion de los grupos principales n, n 2, n 3, y de los múltiplos2n, 3n..... Ni siquiera es condicion necesaria del valor de po-sicion la existencia de un signo de cero en las cifras indias,como lo prueba el escolio de Neófitos. Las lenguas mas co-munes en la parte meridional de la península son el tamoul y |231| el telougon. Los indios que hablan tamoul tienen cifras distin-tas de su alfabeto, y entre ellas 2 y 8 se parecen algo á lasindias (devanagari) 2 y 5. Las cifras cingalais difieren todavíamas de las indias. Ni unas ni otras tienen valor de posicion,ni signo de cero; los grupos n, n 2, n 3..... están representadoscon geroglíficos particulares. Los cingalais cuentan por yuxta-posicion, los tamouls con coeficientes. En el imperio Burman, mas allá del Ganges, se hallan valor de posicion y signo de 0,pero figuras de cifras enteramente distintas de las árabes, per-sas y devanagari-indias. Todas las nueve cifras persas usadaspor los arábes difieren completamente de las de devanagari,7 es una especie de f romana, 8 de tuscia. De las que hoy lla-mamos cifras árabes, solo 1, 2 y 3 se parecen á las devana-gari correspondientes; el devanagari 4 es nuestro 8, nuestro 9es un 7 devanagari, nuestro 7 es un 6 persa. En Bengali el 5tiene figura de media luna, y 3, 5, 6, 8 y 9 difieren de las ci-fras devanagari. Las cifras de Guzerath no son mas que deva-nagari-indias mal formadas. Reflexiones sobre la influencia de las cifras primitivas enel alfabeto, sobre desfiguraciones de letras de intento hechas áfin de distinguir las letras de las cifras, sobre las diferentescolocaciones de las letras numerativas, que no siempre cor-responden en un mismo pueblo al orden usual del alfabeto(como sucede en el aboudjed de los pueblos semíticos de Asia y Africa), son agenas de este escrito, aunque dieron márgená bastantes hipótesis vagas en el campo de los alfabetos y delos geroglíficos comparados. Yo mismo anuncié tiempo há laconjetura de que las cifras indias no obstante las formas de 2y 3, eran letras de un alfabeto antiguo, del cual se veian restosen los caracteres fenicios, samaritanos, palmiros y egipcios(en las momias), y aun los monumentos persas antiguos de Nakschi-Rustan. ¿Cuántas letras de estos alfabetos no se pa-recen á las cifras llamadas esclusivamente indias? Otros sá-bios han dicho que estas mismas cifras apellidadas indias ve-nian de los fenicios; y el ingenioso Echkel advirtió que las le-tras fenicias se parecen tanto á cifras, como que se designa lavoz abdera con 19.990 ó 15.550. Pero tan oscuro está semejan-te orígen de las cifras y letras, que con los materiales hoy dis- |232| ponibles, no caben investigaciones filosóficas formales, comono sean las que den resultados negativos. Unos mismos pueblos suelen contar á un tiempo con letrasnumerativas y con signos de números ideográficos ó arbitraria-mente escojidos; tambien suelen hallarse en un mismo sistemanumérico métodos muy distintos de espresar los múltiplos delgrupo fundamental. Lo que en un sistema apenas se apunta, seve desenvuelto completamente en otro; como ciertas formasgramaticales, que solo se columbran en un pueblo, se ven es-tendidas en otro con predileccion, y con toda la eficacia de susfuerzas intelectuales. Al describir uno por uno los sistemasnuméricos empleados por cada pueblo, se oscurecen las seme-janzas de los métodos, se pierde el rastro del camino por don-de llegó el entendimiento humano á la obra maestra de laaritmética india, en la cual cada signo tiene su valor absolutoy su valor relativo, creciendo de derecha á izquierda en pro-gresion geométrica. En adelante me apartaré del orden etno-gráfico, ciñéndome á examinar los diferentes medios emplea-dos para espresar gráficamente unos mismos grupos de unida-des (grupos mistos ó simples). Primer método.—Yuxtaposicion. Simplemente aditiva de lasletras numerativas y las cifras verdaderas. Asi se ve en los Tuscios, Romanos, Griegos hasta la myriada, las razas semíticas, los Mejicanos y la mayor parte de las cifras pehlwi. Este mé-todo es incomodísimo para calcular cuando los múltiplos delos grupos (2n, 3n, 2n 2......) no tienen signos particulares.Los Tuscios y Romanos repiten los signos 10 hasta 50. Los Meji-canos, cuyo primer signo de grupo es 20 (una bandera), repi-ten un mismo geroglífico hasta 400. Los Griegos por el contra-rio tienen en las dos series de las decenas y centenas, princi-piando respectivamente con iota y rho, signos para 20, 30,400 y 600. Tres episemas (letras de un alfabeto antiguo), bau,koppa y sampi, espresan 6, 90 y 900, terminando las dos úl-timas las series de las decenas y centenas, cuya circunstanciada mayor semejanza al valor numérico de las letras griegascon el del aboujed semítico. Bockh en sus ilustrados trabajossobre el digamma demuestra que bau es el wau de los semitas (de los latinos); koppa era el koph semítico, y sampi el schin se- |233| mítico. La serie de las unidades desde alpha hasta heta son enlos griegos los números fundamentales (puthmenes), con los cua-les, mediante artificios descubiertos por Apolonio, calculabande tal modo, que en último resultado los reducian á los núme-ros correspondientes de las series segunda y tercera (de lasanálogas). Segundo método.—Multiplicacion ó disminucion del valor consignos puestos encima ó debajo. Los puthmenes de la cuarta seriede la notacion griega, volvian á presentarse por analogía, mul-tiplicándolos por 1.000 mediante una rayita debajo de la letra.Así llegaban al millar, escribiendo hasta 9999. Aplicando es-ta notacion de acentos á todos los grupos, suprimiendo todoslos signos despues de la theta (9), hubieran tenido espresionespara 20, 200 y 2.000, poniendo á una β dos ó tres acentos;así se hubieran acercado á la cifra árabe gobar, y luego al va-lor de posicion; pero por desgracia saltaban los grupos de lasdecenas y centenas, y no empezaban la notacion con acentoshasta 1.000, y ni siquiera les ocurrió ensayarla en los grupossuperiores. Así como una rayita puesta debajo multiplicaba el núme-ro por 1.000, una raya vertical encima designaba entre los Grie-gos una fraccion con la unidad por numerador y con el núme-ro de debajo del cuento por denominador. En Diofanto, γ′ es⅓, δ′=¼; pero si el numerador es mayor que la unidad, sedesigna con el número inferior, y entonces el denominador dela fraccion se le añade á manera de esponente, de suerte quev. g. γδ = ¾ (1). En las inscripciones romanas, una rayahorizontal superior multiplica el número por 1.000, lo cual sepuede mirar como abreviatura para ahorrar espacio. El método de Eutocio para espresar myriadas es mas im-

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(1) Detambre, tom. 2, pág. 11. El acento añadido encima de las le-tras, únicamente para indicar que se usan como números, no se debe con-fundir con el signo de fraccion. En varios manuscritos matemáticos an-tiguos no está propiamente perpendicular, sino horizontal, de forma quenunca se pueda confundir con el signo de fraccion.|234| portante. Vemos aquí el primer rastro griego del sistema es-ponencial, ó mejor de indicacion, tan interesante en el orien-te. Mα, Mβ, Mγ designan 10.000, 20.000, 30.000. Esta aplica-cion esclusiva á las myriadas, se estiende entre los Chinos y Japones, que recibian su cultura de los Chinos 200 años antesde nuestra era, á todos los múltiplos de los grupos. Tres rayashorizontales debajo del signo 10 indican 13, tres encima 30.Siguiendo este método escribian el número 3.456 así, usandolas cifras romanas como signos de grupos, y las indias comoesponentes. M3 C4 X5 I6 Iguales índices se ven en los egipcios. Encima de una rayaencorvada que significa 1.000, ponian 2 ó 4 unidades paraespresar 2.000 y 4.000. En los Aztekas ó Mejicanos he halladoel signo de la ligazon con seis unidades por esponente, paraespresar 312 años (6×52=312). En los Chinos, Aztekas y Egipcios el signo de grupo es siempre el inferior, como si seescribiese X5 por 50; en la cifra árabe gobar, el signo de gru-po está encima del indicador. No olvidemos que en el gobar los signos de grupos son puntos, y de consiguiente ceros;porque en la India, el Tibet y la Persia, ceros y puntos sonidénticos. Los signos gobar los descubrió mi amigo y maestro Silvestre de Sacy en un manuscrito de la antigua abadía de Saint-Germain-des-Prés. Este insigne orientalista dice: «El«gobar tiene mucha conexion con la cifra india, pero ca-«rece de cero;” creo sin embargo que tiene signo paracero, pero como en el escolio de Neófitos, puesto enci-ma y no al lado de las unidades: son cabalmente los mis-mos ceros ó puntos que han hecho dar á estos caracteres elsingular nombre de gobar ó escritura de polvo. A primera vis-ta se duda si debe verse en esto un paso de las letras á lascifras. Con trabajo se distinguen los 3, 4, 5 y 9 indios. Dal y ha sean tal vez cifras indias 6 y 2 mal colocadas. La indica-cion con puntos es la siguiente: |235| 3 para 30,4 para 400,6 para 6.000. Estos puntos recuerdan una notacion griega antigua, perorara, que solo empieza en las myriadas: α¨ para 10.000,β∷ para 200 millones. En este sistema de progresiones geo-métricas hay primeramente un punto, que sin embargo no seusa, para indicar 100. En Diofanto y Pappus vemos un puntoentre las letras numerativas para reemplazar á la inicial Mu (myriada). En tal caso un punto multiplica por 10.000 lo queestá á la izquierda. Parece que ciertas ideas oscuras sobrenotaciones por medio de puntos ó ceros, venidas del Oriente,se esparcieron por Alejandrinos en Europa. El verdadero signode cero para indicar alguna cosa que falta, lo emplea Tolomeo en la escala sexagesimal descendente, para espresar grados,minutos ó segundos que faltan. Delambre pretende haber ha-llado tambien el signo de cero en manuscritos del comentariode Theon á la sintaxis de Tolomeo (1). El uso de este signoen Occidente es por tanto anterior con mucho á la invasion delos Arabes. Véase el escrito de Planude sobre los Arithmoi In-dikoi. Tercer método.—Multiplicacion del valor por coeficientes. Lo

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(1) Hist. de la Astron. ant., t. 1, p. 547; t. 2, p. 10. No está el pa-sage de Theon en sus obras impresas. Delambre se inclina unas veces áesplicar el signo griego de cero haciéndolo abreviatura de ouden, y otrasá derivarlo de cierta relacion particular del numerativo omicron con lasfracciones sexagesimales. (Obra citada, t. 2, p. 14; Diario de los sabios, 1817, p. 539.) Es singular que en la antigua aritmética india de la Lila-wati, cero situado junto á un número indica que se debe restar este. (De-lambre, t. 1, p. 540.) ¿Qué designa el ling (un verdadero cero) escrito enlas cifras chinas debajo de 12, 13, 22 y 132? En las inscripciones roma-nas los ceros son óbolos repetidos varias veces. (Rockh, Economía nacio-nal de los Atenienses, B. 2, p. 379.)|236| que en los Chinos hemos visto ser indicadores en la escrituraperpendicular, la diferencia entre \( \underset{2}{X} = 12 \) y \( \overset{2}{X} = 20 \), se hallarepetido en direccion horizontal en los Griegos, Armenios y ha-bitantes que hablan tamoul en la parte meridional de la pe-nínsula India. Diofanto y Pappus escriben βmu para dos ve-ces 10.000 ó 20.000, al paso que αmuβ (cuando β está á laderecha de la inicial de la myriada) significa una vez 10.000mas 2 ó 10.002. Lo mismo sucede en las cifras tamoul, co-mo si se dijera 4X=40 y X4=14. En el pehlwi de la Per-sia antigua, segun Anquetil, y en el armenio, segun Cerbied,se reconocen multiplicadores puestos á la izquierda para es-presar los múltiplos de 100. Tambien debe referirse á estemétodo el punto de Diofanto, arriba mencionado, que reem-plaza á Mu, y multiplica por 1.000 á lo que precede. Cuarto método.—Multiplicacion y disminucion ascendentes ydescendentes por division en ringleras de números cuyo valor dis-minuye en progresion geométrica. Arquimedes en las octades y Apolonio en las tetrades emplearon solo esta notacion paranúmeros que pasasen de (10.000)2, para los 100 millones ómyriadas de myriadas. Vese aqui evidentemente valor de po-sicion de unos mismos signos, siguiéndose en ringleras di-ferentes; hay por tanto valor absoluto y relativo, como en laescala sexagesimal descendente de los astrónomos alejandri-nos para indicar los grados, minutos y segundos. Mas puestoque en este caso, por falta de n—1 ó 59 signos, consta cadaringlera de 2 cifras, no puede ofrecer el valor de posicion laventaja que los números indios. Cuando se consideran comoenteros las trescientas sesenta avas partes de la circunferen-cia, los minutos son sesenta avas partes de tal entero, los se-gundos lo mismo de los minutos, etc.: como fracciones lespuso Tolomeo el signo de fraccion, el acento encima, y paraindicar la progresion descendente, en la cual cada ringlerade 2 cifras es 60 veces menor que la precedente, se multiplica-ron los acentos de ringlera en ringlera. Asi es que los minu-tos llevaron el simple acento de las fracciones griegas co-munes (con la unidad por numerador), los segundos dos acen-tos, los terceros tres, los grados mismos, como enteros, nin- |237| gun acento, quizás como nada (ouden) un cero (1). Digo qui-zás, porque en Tolomeo y Theon, los ceros, como signos degrados, faltan todavía. La simple enumeracion de los diferentes métodos emplea-dos para espresar los múltiplos de los grupos fundamentalespor pueblos que ignoraban la aritmética india, esplica á miver el sucesivo desenvolvimiento del sistema indio. Escri-biendo 3568 perpendicular y horizontalmente mediante indi-cadores \( \overset{3}{M}\overset{5}{C}\overset{6}{X}\overset{8}{I} \), se ve que se pueden escusar los signos delos grupos M, C..... Y cabalmente nuestras cifras indias noson mas que los multiplicadores de los diferentes grupos. Esamisma notacion valiéndose de solo unidades (multiplicadores),la recuerdan los cordones sucesivos del suanpan, representan-tes de millares, centenas, decenas y unidades. En el ejemplocitado manifestaban los cordones 3, 5, 6 y 8 bolas. No se vensignos de grupo. Los signos de grupos son las posiciones mis-mas, y estas (cordones) están satisfechas por las unidades(multiplicadores). Por ambos caminos de la aritmética figura-tiva y palpable se llega, pues, á la posicion india. Si está vacío ó hueco el cordon, bien subsista libre el puesto escribiendo,bien falte un grupo (un término de la progresion), llena aquelvacío gráficamente el geroglífico del vacío, un círculo vacío, sunga, sifron, zuphra (2).

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(1) Respecto del empleo del signo cero, V. Leslie, p. 12-135; Ruit-hen, Germanen und Griechen Hist., II, p. 2-23; Ducange, Glossar. mediœgrœcitatis, t. 2, p. 572; Maumart, de numerorum quos arabicicos vocantorigine; Pythagor., p. 17. En la aritmética griega, M° designa una unidad, monas, asi como una delta con un cero (propiamente omicron) encima,significa tetartos (Bast., Gregor., Cor., p. 851.) En Diofanto, M°xα es 21.El signo gramatical indio auuswara tiene figura de un cero indio (sunga),aunque solo indica modificacion de la pronunciacion de la vocal que estéal lado, y nada tiene que ver con el sunga. (2) En inglés se ha conservado cypher para indicar cero, al paso queen las lenguas occidentales que dicen cero (sifron, seron), indica cifra unnumerativo en general solo. En sanscrit se llama sambhara el número óla cantidad.|238| Que la notacion numerativa se fue perfeccionando en laIndia solo á pasos sucesivos, lo confirma la cifra tamoul, quemediante 9 signos de unidades y de signos de grupos para 10,100 y 1.000, espresa todos los valores valiéndose de multipli-cadores añadidos á izquierda; y asimismo lo confirman lassingulares arithmoi indikoi del escolio del monje Neófitos, que se conserva en la biblioteca de París. (Cod. reg., fol 15.)Las 9 cifras de Neófitos, fuera del 4, son lo mismo que laspersas. Las cifras 1, 2, 3 y 9 se ven tambien en inscripcionesnuméricas egipcias. Las 9 unidades están multiplicadas por10, 100 y 1.000, poniendo encima uno, dos ó tres ceros,asi v. gr.: \( \overset{\circ}{2}=20 \), \( \overset{\circ}{24}=240 \), \( \overset{\circ\circ}{4}=400 \), \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{6}=6.000 \). Poniendo puntos en vezde ceros, resulta la cifra árabe gobar. Recapitulando lo dicho sobre los muchísimos métodos denotacion de los pueblos de ambos continentes, harto poco co-nocidos, vemos: 1.° Pocos signos de grupos y casi esclusivos de n 2, n 3, n 4...., no de 2n, 3n...., ni de 2n 2, 3n 2...., como tenian los Ro-manos y los Tuscios, X, C, M. (Todos los grados intermedios,2n ó 2n 2, v. g., están espresados por yuxtaposicion XX, CCC.) 2.° Muchos signos de grupos, no solo de n, n 2 (iota y rho de las letras numerativas griegas), sino tambien de 3n ó de4n 2 (λ y υ), lo cual ocasiona suma heterogeneidad de los ele-mentos de espresion de 2+2n+2n 2 (v. g.: σπβ de 222). 3.° Espresion de los múltiplos del grupo fundamental desus potencias (2n, 3n, 4n 2, 5n 2), bien poniendo (debajo ó en-cima) indicadores á los signos de grupos (chinos, \( \overset{2}{X} \), \( \overset{3}{X} \), \( \overset{4}{C} \), \( \overset{5}{C} \);indio-tamoul, 2X, 3X, 4C, 5C), bien puntuando ó acentuandogradualmente los 9 signos primeros de unidades, como \( \overset{․}{α} \)=10,\( \overset{․}{β} \)=20, \( \overset{‥}{α} \)=100, \( \overset{∴}{α} \)=1.000, \( \overset{∷}{δ} \)=40.000; en gobar, en el escoliode Neófitos y en la escala sexagesimal descendente de los astrónomos alejandrinos, para \( \frac{1}{60} \), \( \frac{1}{60^2} \), \( \frac{1}{60^3} \), escribiendo, v. g.1.° 37.′ 37.″ 37.‴..... Hemos visto, en fin, que los indicadores (multiplicadores) |239| de los pueblos del Asia oriental, de los habitantes de la partemeridional de la península india; que la acentuacion de los puthmenes del sistema gobar ó del escolio de Neófitos, quelos cordones del suanpan, podian dar el valor de posicion. Que el sencillo sistema de posicion indio fuese introducidoen Occidente á consecuencia de la estancia del sábio astró-nomo Rihan Mahommed ebn Abmet Albiruni en la India, comoopina Sedillot, ó por traficantes moriscos de la costa septen-trional de Africa, y de resultas del comercio que se abria en-tre éstos y los Italianos, es lo que está por decidir. No obs-tante la antigüedad de la cultura india, tampoco se sabe si elsistema de posicion, que tanto influyó en las matemáticas, eraconocido ya en tiempo de la espedicion macedonia mas alláde la India. ¡Cuánto mas perfectas hubieran legado las cien-cias matemáticas á la ilustrada época de los Haquemitas un Arquimedes, un Apolonio de Perges y un Diofanto, si hubieserecibido el Occidente doce ó trece siglos antes, con la espedi-cion de Alejandro, la aritmética india de posicion! Pero laparte de la India anterior que atravesaron los Griegos, el Pendjab hasta Palibothra, estaba habitada por pueblos pococultos; bárbaros los llamaban los que vivian mas al Oriente.Solo Seleucus Nicator traspasó el límite que separaba la civi-lizacion de la barbarie, desde el rio Sarasvatis hasta el Gan-ges. De la antigua cifra india tamoul, que espresa 2n, 3n 2....,con multiplicadores adjuntos, y que de consiguiente tiene,además de signos de las nueve unidades primeras, otros par-ticulares de n, n 2, n 3...., se infiere que en la India, al par delsistema de valor de posicion llamado casi esclusivamente in-dio (ó árabe), habia tambien otros sistemas de cifras sin va-lor de posicion. Acaso Alejandro ni sus sucesores bactrios, alpenetrar temporalmente en la India, no se ponian en contactocon naciones que esclusivamente usaran el método de posicion. Ojalá se prosigan con celo los trabajos, ya por filólogos quetengan ocasion de examinar manuscritos griegos, persas y ára-bes (1) , ya por viajeros que se detengan en la península India

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(1) Entre los manuscritos árabes merecen particular atencion los quetratan de hacienda ó de la aritmética en general, v. gr. Abn Jose Al- |240| misma. Nada puede dar tantas observaciones notables como lafoliacion de antiquísimos volúmenes manuscritos de la litera-tura sanscrita. ¿Quién sospechará v. gr. que los Indios tuvie-ran, junto con una aritmética decimal de posicion, un sistemasedecimal sin posicion; que ciertos pueblos indios contarande preferencia por grupos de 16, como los pueblos america-nos, los Kymros y los Bascos por grupos de 20? Esta singularnumeracion se descubrió hace años en un manuscrito del an-tiguo poema indio Mahabharata. (Cod. reg., París, p. 178.)Sesenta y cinco páginas de este manuscrito están foliadas conletras numerativas indias, pero usándose solo las consonantesdel alfabeto sanscrit (k por 1, kh por 2.....), lo cual está encontradiccion con la idea (1) muy en boga, de que en la Indiase encuentran empleadas esclusivamente cifras y no letras porcifras, como lo hacian los pueblos semíticos y los griegos. Enla página 60 comienza la singular notacion sedecimal. En losprimeros 15 puthmenes apenas se reconocen dos signos quesean letras sanscritas; t aspirada y d, y parece correspondenrespectivamente á 3 y 12; tampoco se encuentran mucho lossignos propiamente llamados indios (árabes). Es de notar quela cifra 1 con un cero adjunto signifique 4, y que la 1 dobla-da (dos rayas perpendiculares) con un cero adjunto signifique8; son, digámoslo así, puntos suspensivos, grados intermediosde sistema sedecimal, de ¼n y ½n; pero ¾n (12) está sin cero,y tiene un geroglífico propio parecido al 4 árabe. Para el gru-po normal 16 y sus múltiplos 2n, 3n..... se emplean las cifras bengali conocidas, y así 16 se espresa con el 1 bengali prece-

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chindus, de arithmetica indica; Abdel Hamid ben vasee Abalphadl, de nu-merorum proprietatibus; Ahmad ben Omar Alkarabisi, liber de indica nu-merandi ratione; el Algebra india de Katka; Mohammed ben Lara, denumerorum disciplina. (Casiri, Bibliot. arabico-hispana, t. I, p. 353, 405,410, 426 y 433.)(1) Si la aritmética de posicion no es originaria de la India, debe ha-ber existido por lo menos allí de tiempo inmemorial; porque ningun ves-tigio de notacion alfabética se halla entre los Indios como la de los He-breos, Griegos y Arabes. (Delambre, Hist. de la Astr. ant., t. I, p. 543.)|241| dido de rasgo curvo; 32 con el 2 bengali, 48 con el 3 ben-gali. Los múltiplos de n vienen á ser, pues, números primero,segundo, tercer..... órdenes; los números 2n+4, ó 3n+6 (es-to es, en el sistema sedecimal 36 y 54) están designados conun 2 bengali y una cifra mahabharata (1) 4 al lado, comotambien con una cifra bengali 3 y otra mahabharata 6; mé-todo de numeracion regularísimo, pero incómodo y complica-do, y cuyo origen es tanto mas enigmático cuanto que pre-supone el conocimiento de las cifras bengali.