Digitale Ausgabe

Man hat sich bisher, in den Untersuchungen über die numerischen Zei-chen (den einzigen Hieroglyphen, welche sich bei den Völkern des AltenContinents neben der Tonzergliedernden Buchstaben-Schrift erhalten ha-ben,) ernster mit der characteristischen Physiognomik der Zeichen undihrer individuellen Gestaltung, als mit dem Geist der Methoden beschäf-tiget, durch welche es dem menschlichen Scharfsinne geglückt ist, Grö-ßen mit mehr oder weniger Einfachheit auszudrücken. Der Gang derUntersuchung ist hier fast eben so einseitig, als in den Sprachen gewe-sen, die lange Zeit hindurch mehr nach der Frequenz gewisser Töneund Endungen, nach der Gestalt der Wurzeln, als nach dem organischenBau ihrer Grammatik verglichen worden sind. Ich bin seit mehrerenJahren anhaltend und mit besonderer Vorliebe bemüht gewesen, die beiverschiedenen Völkern alter und neuerer Zeit üblichen Systeme von Zahl-zeichen unter einen allgemeinen Gesichtspunct zu stellen. Die Kennt-niß gewisser Ziffern bei den Azteken (Mexikanern) und bei den Muys-cas *) (den Bewohnern der Hoch-Ebene von Cundinamarca ), die ichvon meiner Reise zurückgebracht habe; Thomas Young’s Entdeckungder ägyptischen Zahlzeichen, die (wie wir jetzt wissen) nicht alle durch Nebeneinanderstellung (juxtaposition) das Vielfache der Gruppen aus-

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*) Ueber die Meinung, daß die Zahlzeichen der Muyscas (zugleich Hieroglyphen der Mond-tage des zunehmenden Alters des Mondes) mit dem sich nach den verschiedenen Phasen allmäligentwickelnden Mondgesichte zusammenhängen, siehe Humboldt, Vues des Cord. et Monumensdes peuples indigènes de l’Amérique T. II. pag. 237 — 243. Pl. XLIV. |206| drücken; die so wenig beachtete arabische Gobar (Staub)-Schrift, welche Silvestre de Sacy in einem Pariser Manuscript auffand; die Verglei-chung, welche ich zwischen dieser Bezeichnungsart und den mexicani-schen und chinesischen Zahlzeichen anstellte; die durch viele in Indien erschienene Sprachlehren erlangte Gewißheit, daß diesseits und jen-seits des Ganges nicht bloß ganz verschieden gestaltete Ziffern und Buch-staben-Zahlen, sondern auch ganz verschiedene Zahlen-Systeme, mitund ohne Stellenwerth, herrschen; endlich eine ganz unbekannte indi-sche Methode, die ein Scholion des griechischen Mönchs Neophytos darbietet, lieferten mir eine Reihe von Materialien, welche einiges Lichtauf unser sogenanntes arabisches Zahlen-System werfen können. Ichhabe zuerst im Jahre 1819 in einer Abhandlung, welche ich zu Parisin den Sitzungen der Académie des inscriptions et belles-lettres gelesen,zu zeigen gesucht, wie bei Völkern, welche die rohe Methode der Juxta-position dadurch abkürzen, daß sie (nach Art der Mexikaner, in denLigaturen von 4 mal 13 oder 52 Jahren, der Chinesen, Japanesen und Tamulen) Exponenten oder Indicatoren über die Zahlenzeichen schreiben,aus diesen Indicatoren, durch Suppression der senkrecht oder horizontalgereiheten Gruppenzeichen, das herrliche indische System des Stellenwer-thes entstehen konnte. Die Verbreitung dieses Systems mußte durch denuralten Gebrauch der Erinnerungs- und Zahlschnüre, welche theils lose, als quippos der Tataren, Chinesen, Aegypter, Peruaner *) und Mexi-kaner, zu christlichen Paternostern oder Ritual-Rechenmaschinen **) um-geformt wurden, theils in feste Rahmen gespannt, den Suanpan von ganzInner-Asien, den abacus der Römer und Tusker ***) und die Werkzeugeder palpabeln Arithmetik slavischer Stämme †) bilden, ansehnlich begün-stigt werden. Diese Schnur- und Drahtreihen des einfachsten asiatischen Suanpan repräsentiren höhere und niedere Gruppen eines Zahlen-Systems,gleichviel ob Zehner, Hunderte und Tausende, oder in 60theiliger Abthei-lung: Grade, Minuten, Secunden. Der Geist der Methode ist derselbe.

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*) Ueber die quippos zur Abzählung der Sünden im Beichtstuhle s. Acosta Hist. naturalde las Indias, lib. 6. cap. 8. El Inca Garcilaso, lib. 6. cap. 9. Fréret Mém. de l’acad.T. 6. p. 609. **) Klaproth Asiat. Mag. Th. II. S. 78.***) Otfried Müller, Etrusker, T. II. p. 318. †) Im Russischen heißt der Rosenkranz tschotki; das Rechenbrett mit Schnüren (der Suan-pan der Tataren) tschotü. |207| Die Perlen auf jeder Schnurreihe sind wieder die Indicatoren der Grup-pen, und eine leere Schnur deutet auf Null, also auf das leere Sunya (sanscr.) sifr oder eigentlich sifron sihron (arabisch, nach Meninski: prorsus vacuum). Ich kann nicht historisch entwickeln, daß der Ur-sprung des indischen Stellenwerthes von 9 Ziffern wirklich der sei, wel-chen ich angegeben; aber ich glaube einen Weg gefunden zu haben, aufwelchem allmälig die Entdeckung gemacht werden konnte. Auf dieEinsicht solcher Möglichkeiten führt ja überhaupt nur die dunkle undeben darum so anziehende Geschichte der alterthümlichen Entwickelunggeistiger Kräfte und Bildung des Menschen-Geschlechts. Von jener in der Académie des inscriptions gelesenen Abhandlungist nur ein kurzer Auszug gedruckt worden, und an einem Orte *), woman ihn schwerlich sucht. Das Manuscript selbst ist in Herrn Cham-pollion’s Händen, der es mit weit wichtigeren, von ihm in Turin ent-deckten Thatsachen über die verschiedenen Methoden der ägyptischenZahlzeichen, bekannt machen wollte. Ich habe seitdem von Zeit zu Zeitfortgefahren, meine erste Arbeit zu vervollständigen; aber da ich nichthoffen darf, Muße genug zu finden, sie in ihrer ganzen Ausdehnung her-auszugeben, so werde ich in dieser Abhandlung mehrere der Haupt-Re-sultate zusammendrängen. Bei der neuen und glücklichen Richtung,welche das Studium der Sprachen und Monumente genommen, bei demwachsenden Verkehr mit den süd- und ost-asiatischen Völkern, ist eswohl nicht ohne einigen Nutzen, Probleme zur Sprache zu bringen, welchemit dem Gange des menschlichen Geistes, und (durch die letzten Ver-zweigungen der Zahlen-Hieroglyphik und einfacher graphischer Metho-den) mit den glänzendsten Fortschritten der Mathematik in so enger Ver-bindung stehen. „Der Gedanke, alle Quantitäten durch neun Zeichenauszudrücken, indem man ihnen zugleich einen absoluten und einen Stel-lungswerth giebt, sagt einer der größten Geometer unserer Zeit undaller Zeiten, der Verfasser der Mécanique céleste **), ist so einfach, daß

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*) Gay Lussac et Arago, Annales de chimie et de physique T. XII. p. 93. in der mo-natlichen Anzeige der Verhandlungen des Instituts. Humboldt Essais pol. sur la nouv. Espagne (2. édit.) T. III. p. 122—124.**) Laplace Expos. du système du monde (5. édit.) p. 325. Mit diesem Urtheile contra-stirte sonderbar die Behauptung von Delambre in seinem Streite über das Verdienst der alt-indischen Arithmetik, wie sie in Bhascara Acharya’s Lilawati enthalten ist ( Hist. de l’astro-nomie ancienne T. I. p. 543.). Sprache allein führt wohl nicht auf Suppression der Gruppenzeichen.|208| man eben deshalb nicht genugsam erkennt, welche Bewunderung er ver-dient. Aber eben diese Einfachheit und die Leichtigkeit, welche dieMethode dem Calcul zusichert, erheben das arithmetische System der Inder zu dem Range der nützlichsten Entdeckungen. Wie schwer eswar, eine solche Methode aufzufinden, kann man daraus abnehmen, daßsie dem Genie des Archimedes und Apollonius von Perga, zweierder größten Geister des Alterthums, entgangen war.” Die nachfolgen-den Bemerkungen werden zeigen, wie ich hoffe, daß die indische Me-thode allmälig aus früheren, noch jetzt im östlichen Asien üblichen, ent-stehen konnte. So wie Sprache im Allgemeinen auf Schrift, und Schrift, untergewissen, von Silvestre de Sacy und meinem Bruder untersuchten Be-dingungen, auf die Sprache zurückwirkt, so stehen auch die, bei verschie-denen Völkern so verschiedenen Arten zu zählen mit der Zahlen-Hierogly-phik in genauer Wechselwirkung. Doch ist von dieser Wechselwirkungnicht immer strenge Consequenz zu erwarten. Die Zahlzeichen folgen nichtimmer denselben Gruppirungen von Einheiten, als die Sprache; in derSprache finden wir nicht immer dieselben Ruhepuncte (dieselben quinärenZwischenstufen) als in den Zahlzeichen. Fasset man aber, was Sprache(Zahlworte) und numerische Graphik in den entferntesten Erdstrichendarbieten, unter einen Blick zusammen, gleichsam als gemeinsames Pro-duct der menschlichen Intelligenz, auf quantitative Verhältnisse angewandt,so entdeckt man in der Zahlenschrift des einen Völkerstammes dieisolirt scheinenden Sprachsonderbarkeiten eines anderen Stammes;ja, man muß hinzusetzen, daß eine gewisse Unbehülflichkeit im nume-rischen Gebiete der Sprache und Schrift einen sehr trüglichen Maaßstabfür den sogenannten Cultur-Zustand der Menschheit giebt. Hier findendieselben verwickelten, unter einander contrastirenden Verhältnisse Statt,als bei Völkern, die Buchstabenschrift oder bloß ideographische Zeichen,die den üppigsten Reichthum grammatischer Formen, aus dem Innerndes Wurzellautes sich organisch-entwickelnde Flexionen, oder fast ganzFlexions- und Formenlose, wie im ersten Ausbruche erstarrte Sprachen(und alles dies in den verschiedensten Gradationen intellectueller Bildungund politischer Einrichtungen) besitzen. So fühlt sich das einige Men-schengeschlecht durch Wechselwirkung der inneren und äußeren Welt(eine Wechselwirkung, deren erste bestimmenden Gründe in dem mythi- |209| schen Dunkel der Vorwelt verhüllt bleiben) in die verschiedensten Richtun-gen gestoßen; meist unaufhaltsam, die alte Natur bewahrend, auch wenngroße Welt-Erschütterungen die heterogensten Sprachstämme einander geo-graphisch näher bringen; aber Ähnlichkeit der durch die fernsten Erdstrichewiederhallenden Anklänge, in grammatischen Sprachformen und graphi-schen Versuchen große Zahlen auszudrücken, bezeugen die Einheit desalten Geschlechts, das Übergewicht dessen, was aus der inneren Intelli-genz, aus der gemeinsamen Organisation der Menschheit entspringt. Reisende, welche beim Zählen Steinchen und Samenkörner in Hau-fen von 5 oder 20 zusammenlegen sahen, behaupten, daß viele Natio-nen nicht über 5 oder 20 zählen *). Eben so könnte man behaupten,daß die Europäer nicht über 10 zählen, da siebenzehn aus 10 und 7 Ein-heiten zusammengesetzt ist. Bei den cultivirtesten Völkern des Abendlan-des, z. B. bei Griechen und Römern, deuten bekanntlich die Sprachennoch auf jene Haufen- und Gruppen-Bildung hin; daher die Ausdrücke psephizein, ponere calculum, calculum detrahere. Gruppen von Einheitengewähren Ruhepuncte beim Zählen, und die verschiedensten Völker,in Folge der gleichen körperlichen Gliederung (4 fünffach getheilter Ex-tremitäten) stehen still, entweder bei einer Hand, oder bei beiden, oderbei Händen und Füßen. Nach dieser Verschiedenheit der Ruhepunktebilden sich Gruppen von 5, 10 und 20. Merkwürdig ist es immer, daßim Neuen Continent, wie bei den africanischen Mandingas, den Basken und den kymrischen (galischen) Stämmen des Alten Continents, meistGruppen von 20 herrschen **). In der Chibcha-Sprache der Muyscas (eines Volkes, das, wie die Japanesen und Tibetaner, ein geistliches undein weltliches Oberhaupt hatte und dessen Nordindische Intercalations-Methode eines 37sten Monats ich bekannt gemacht habe ***)) heißen 11,12, 13: Fuß eins (quihieha ata); Fuß zwei (quihieha bosa); Fußdrei (quihieha mica) von quihieha oder qhieha (Fuß) und den 3 erstenEinheiten ata, bozha oder bosa und mica. Das Zahlwort Fuß bedeu-

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*) Pauw, Recherches philos. sur les Américains. T. II. p. 162. ( Humboldt Monumensaméricains. T. II. p. 232—237.)**) Beispiele solcher Zahlgruppen von 20 Einheiten liefern in America: die Muyscas, die Otomiten, die Azteken, die Cora-Indianer u. s. f.***) Monum. amér. T. II. p. 250—253. Die Muyscas hatten Steine mit Zahlzeichen bedeckt,die in ihrer Folge den Priestern (xeques) die Intercalation des rituellen Jahres erleichterten. Siehedie Abbildung eines solchen Intercalations-Steines a. a. Orte, Tab. XLIV.|210| tet zehn, weil man den Fuß nennt, wenn schon beide Hände durchge-zählt sind. Zwanzig heißt demnach in dem Sprachsysteme der Muys-cas: Fuß-zehn oder ein Häuschen (gueta), vielleicht weil man mitMaiskörnern statt der Steinchen zählte, und ein Häufchen Mais an dasVorraths-Haus, die Mais-Scheuer, erinnert. Aus dem Worte Haus, gueta, oder zwanzig (beide Füße und Hände) entstehen nun 30, 40, 80mit den Benennungen: zwanzig plus 10; zweimal zwanzig; vier-mal zwanzig; ganz wie die celtischen, in die romanischen Sprachenübergegangenen Ausdrücke quatre-vingt, und quinze vingt, ja die selte-nern six vingt, sept vingt, huit vingt. Deux- und trois vingt sind imFranzösischen nicht üblich, da doch im galischen oder celtischen Dialecteder westlichen Bretagne, die ich vor wenigen Jahren durchstrichen bin,von ugent zwanzig, daou-ugent zwei-zwanzig oder 40; tri-ugent drei-zwanzig oder 60; ja deh ha nao ugent 190 oder zehn überneun Zwanziger heißen *). Von der Analogie der Sprache und der Zahlen-Hieroglyphik könnte ich noch andere merkwürdige Beispiele anführen, in der Juxta-position, im Abziehen von Einheiten, indem man sie graphisch der Gruppevorsetzt; in Mittelstufen von 5 zu 15, bei Völkern, die nach Gruppenvon 10 oder 20 zählen. Bei sehr rohen amerikanischen Stämmen, z. B.bei den Guaranis und Lulos, heißen 6, 7 und 8 vier mit zwei, viermit drei, fünf mit drei. Bei den gebildeteren Muyscas finden wir zwanzig (oder Haus) mit zehn für 30, wie die Kymren in Wales deg (zehn) or ugain (mit zwanzig), die Franzosen für 70 soixanteet dix sagen. Summirungen durch Juxtaposition finden wir überall bei Etruskern, Römern, Mexikanern und Aegyptern; subtractive odermindernde Sprachformen **) im Sanscrit bei den Indern: in 19 oder una-

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*) Davies Celtic Researches 1804. p. 321. Legodinec grammaire celto-bretonne 1807. p. 55. Im celtischen oder kymrischen Dialecte von Wales heißt 5 pump; 10 deg; 20 ugain; 30 deg ar ugein (10 und 20); 40 deugain; 60 trigain. ( William Owen Dict. of the Welsh lan-guage. Vol. I. p. 134.) Nach demselben Systeme der Zwanziger finden wir im Baskischen: bi 2; lau 4; amar 10; oguai 20; birroguai 40; lauroguai 80; berroguetamar 50, d. i. 40 und (ata) zehn. Larramendi, Arte de la lengua bascongada 1729. p. 38. (Die baskischen und kymrischen Zahl-wörter sind in meinen Monum. II. p. 237. nicht vermengt, aber um die Vergleichung zu erleich-tern, zusammengestellt: nur steht durch einen Druckfehler les premiers statt les deux oder les unset les autres.)**) Herr Bopp führt selbst 95 oder ein um 5 vermindertes Hundert an, pantschonam satam (aus pantscha 5 und una weniger zusammengezogen.)|211| vinsati; 99 unusata; bei den Römern in undeviginti für 19 (unus deviginti); undeoctoginta für 79; duo de quadraginta für 38; bei den Grie-chen eikosi deonta henos 19 und pentekonta düoin deontoin 48, d. i. feh-lend 2 an 50. Dieselbe minorative Sprachform ist in die numerischeGraphik übergegangen, wenn den Gruppenzeichen 5, 10, ja selbst ihrenVielfachen, z. B. 50 oder 100, Charactere zur Linken gesetzt werden.(IV und IΛ, XL und XT für 4 und 40 bei Römern und Tuskern *),obgleich bei den letzteren, nach Otfried Müller’s neuen Untersuchun-gen, die Ziffern wahrscheinlich ganz von dem Alphabet herstammen.)In seltenen römischen Inschriften, die Marini gesammlet **), finden sichsogar 4 Einheiten vor 10, z. B. IIIIX für 6. Wir werden bald sehen,daß es graphische Methoden bei indischen Völkerstämmen giebt, in wel-chen der Stellenwerth, welcher bei Tuskern und Römern nur addi-tiv oder subtractiv ist, nach Maaßgabe der Stellung oder Richtungder Zeichen, auf Addition und Multiplication hindeutet. In diesenindischen Systemen ist (um mich römischer Ziffern zu bedienen) IIX zwanzig, und XII zwölf. In einer großen Zahl von Sprachen werden die Normal-Gruppen 5,10, 20 eine Hand, zwei Hände, und Hand und Fuß (bei den Gua-ranis mbombiabe) genannt. Hat man an beiden Extremitäten die Fingerabgezählt, so erscheint der ganze Mensch als ein Symbol von 20; daherheißt in der Sprache der Yaruros (von denen ich volkreiche Missions-Dörfer am Apure-Flusse, der sich in den Orinoco einmündet, gefunden)40 zwei Menschen, noeni pume von noeni zwei und pume Mensch. Im Persischen drückt bekanntlich pentscha die Faust, pendj fünf aus,herstammend von dem Sanscrit-Worte pantscha. „Letzteres hat (nachHrn. Bopp’s scharfsinniger Bemerkung) auf das römische quinque geführt,wie das indische tschatur auf quatuor. Der Plural von tschatur (4.) ist tschatvaras, und steht dem Dorisch-Aeolischen tettares sehr nahe. Dasindische ch, wie im Englischen ausgesprochen, also tsch, wird nemlich imGriechischen ein t; daher sich tschatvaras in tatvaras, wie pantscha (5)in panta (das griechische pente, äolisch pempe, davon pempazein an denFingern oder Fünfen zählen) umwandelt. Im Lateinischen entsprichtdagegen qu dem indischen ch oder vielmehr tsch; daher tschatur und

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*) Otfried Müller, Etrusker, II. p. 317—320.**) Iscrizioni della Villa di Albano, p. 193. Hervas Aritmetica delle nazioni 1786. p. 11. 16.|212| pantscha in quatuor und quinque übergehen. Pantscha selbst heißt imSancrit nie Hand, sondern bedeutet einzig die Zahl 5. Doch ist pantscha-sakha ein beschreibender Ausdruck für Hand, als eines fünfästigen Organs *).” Wie nun in der Sprache und, mit besonderer Naivität, in densüdamerikanischen Sprachen, die Gruppen von 5, 10, 20, gleichsam alsRuhepuncte bezeichnet sind, so erkennen wir dieselben Gruppen in derZahlen-Hieroglyphik. Die Römer und Tusker haben einfache Ziffern **) für 5, 50, 500. Das quinare System hat sich neben dem denaren erhalten. Im Aztekischen (Mexikanischen) finden wir nichtbloß Gruppenzeichen für 20 eine Fahne; für das Quadrat von 20 oder400 eine Feder mit Goldkörnern gefüllt, die in einigen mexikanischenProvinzen als Münze dienten; für den Cubus von 20 oder 8000 ein Säck-chen, xiquipilli, mit 8000 Cacao-Bohnen, ebenfalls zum Tauschhandelbestimmt; sondern auch (da die Fahne in 4 Fächer getheilt und halboder zu \( \frac{3}{4} \) colorirt ist) Zahlzeichen für halb-zwanzig oder 10, und für \( \frac{3}{4} \) zwanzig oder 15, gleichsam 2 Hände und 1 Fuß ***). Den denkwür-digsten von allen Beweisen der Wechselwirkung zwischen Graphik undSprache bietet aber Indien dar. Der Stellenwerth der Einheiten istim Sanscrit selbst in die Rede eingedrungen. Die Indier haben nemlicheine gewisse bildliche Methode, Zahlen durch die Namen von Gegen-ständen auszudrücken, deren eine bestimmte Zahl bekannt ist. Surya (Sonne), zum Beispiel, bedeutet 12; denn in indischen Mythen werden12 Sonnen nach der Reihe der Monate angenommen. Die auch in denMondhäusern oder naktschatras vorkommenden beiden Aswinas (Castor und Pollux) drücken die Zahl 2 aus; Manu bedeutet 14, nach den Menus der Mythologie. Aus diesen vorläufigen Andeutungen erhellet nun, wie Su-rymanu, die Zusammenstellung der Symbole von 12 und 14, die Jahrs-zahl 1214 bezeichnet. Diese Thatsache verdanke ich der gütigen Mit-theilung des gelehrten Colebrooke. Wahrscheinlich heißt, nach dem-selben Prinzip, 1412 Manusurya und 214 Aswinimanu. Im Sanscrit ist

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*) Ueber die Sanscrit-Zahlwörter in Vergleichung mit griechischen, lateinischen und gothi-schen Zahlwörtern hat mir Herr Prof. Bopp, in Paris, im Jahre 1820, einen interessanten hand-schriftlichen Aufsatz mitgetheilt, der ursprünglich bestimmt war, in meinem Werke: Ueber dieZahlzeichen der Völker zu erscheinen.**) Für das tuskische Zeichen von 500 s. Otfried Müller, Abth. IV. Fig. 2.***) Humboldt, Monum. amér. I. p. 309.|213| übrigens die Numeration so vollkommen, daß man sogar ein einfachesWort, koti, für 10 Millionen findet, wie die peruanische qquichua-Sprache,die nicht nach Gruppen von 20 zählt, ein einfaches Wort für eine Mil-lion (hunu) kennt. Rechnen wir nach Zehnern nur deshalb, wie Ovid sagt, quia totdigiti, per quos numerare solemus, so würde der Mensch bei 6fach ge-theilten Extremitäten zu einer duodenaren Scale, zu Gruppen von 12,gelangt sein *), die den großen Vorzug von bruchlosen Theilungen durch2, 3, 4 und 6 gewährt, und der sich die Chinesen seit den frühe-sten Zeiten bei ihren Maaßen und Gewichten bedienen. Von diesen Betrachtungen über den Verkehr zwischen Sprache und Schrift, zwischen Zahlwörtern und Zahlzeichen, gehen wirnun zu den letzteren selbst über. Ich wiederhole es, daß in diesem Aus-zuge aus meinem größeren, unvollendeten Werke nicht sowohl von der heterogenen Gestaltung einzelner Elemente (Ziffern), als von dem Geist der Methoden die Rede sein wird, welche die verschiedenenNationen im Ausdruck numerischer Größen angewandt haben. Der Ge-stalt und Form der Ziffern erwähne ich hier nur, wenn sie auf dieSchlüsse über Identität und Heterogeneität der Methoden einwirken. DieArt zu procediren, um die reinen und gemischten multipla der de-naren Fundamental-Gruppen n (z. B. 4n, 4n 2, oder 4n + 7, 4n 2 + 6n, 4n 2 + 6n + 5) auszudrücken, ist nemlich sehr vielfältig, und geschieht balddurch Reihung (Stellenwerth, position), wie bei verschiedenen indischenVölkern; bald durch rohe Juxtaposition, wie bei den Tuskern, Rö-mern, Mexicanern und Aegyptern; bald durch nebenstehendeCoefficienten, wie bei den Tamulsprechenden Bewohnern der südlichen, indischen Halbinsel; bald durch gewisse, über den Gruppenzeichen stehende Exponenten oder Indicatoren, wie bei den Chinesen, Japanesen undden Myriaden der Griechen; bald in der inversen Methode, durch eine Zahl von Nullen oder Puncten, welche neun Ziffern oben angehängtwerden, um den relativen oder Stellenwerth jeder Ziffer zu bezeichnen,gleichsam Gruppenzeichen, welche über die Einheiten gesetzt werden,wie in der arabischen Gobarschrift und in einem, vom Mönch Neophy-tos erläuterten indischen Zahlen-Systeme. Die eben genannten 5 Metho-

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*) Debrosses II. 158. |214| den sind von der Gestaltung der Ziffern ganz unabhängig, und umdiese Unabhängigkeit noch besser zu bewähren, habe ich es mir in die-ser Abhandlung zum Gesetz gemacht, keine anderen Zeichen, als die ge-wöhnlichsten arithmetischen und algebraischen zu gebrauchen. Die Auf-merksamkeit wird auf diese Weise mehr auf das Wesentliche, auf denGeist der Methode, gerichtet. Ich habe schon bei einem anderen, sehrheterogenen Gegenstande, in Beziehung der regelmäßigen Aufeinander-Lagerung, oft periodischen Reihung der Gebirgsarten (in dem Anhangezu dem Essai géognostique sur le Gisement des Roches) *) zu zeigen ge-sucht, wie durch pasigraphische Notationen die Verallgemeinerungder Begriffe gewinnen kann. Man unterdrückt die, ihrer Natur nachallerdings sehr richtigen Nebenbetrachtungen individueller Form und Mi-schung, um eine Erscheinung, die man vorzugsweise verfolgen will, inein desto reineres Licht zu setzen; ein Vortheil, der die frostige Nüch-ternheit solcher Abstractionen einigermaßen rechtfertigen kann. Man ist gewohnt, in den graphischen Methoden der Völker zu un-terscheiden: Zeichen, welche von der Buchstabenschrift unabhän-gig sind, und Buchstaben, welche durch eine bestimmte Reihung, durchgewisse beigefügte Striche und Puncte oder (in Beziehung auf die Sprache)durch Initialen der Zahlwörter **) den numerischen Werth angeben.Es ist bekanntlich keinem Zweifel unterwofen, daß die hellenischen,die semitischen oder aramäischen Stämme (unter letzteren die Araber selbst, bis in das 5te Jahrhundert ***) nach der Hegira, ehe sie durchdie Perser die Ziffern erhielten) in der Epoche ihrer gereiften Cultur,dieselben Zeichen als Buchstaben und Ziffern benutzten. Auf der anderenSeite sehen wir im neuen Continent wenigstens zwei Völker, die Azte-ken und Muyscas, welche Zahlzeichen und keine Buchstaben-

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*) Ed. de 1823, p. 364—375.**) Die arabischen Diwani-Ziffern, aus bloßen Monogrammen oder Abbreviationen von Zahl-wörtern zusammengesetzt, geben das verwickelteste Beispiel solcher Initial-Schrift. Ob dieuskischen und römischen C und M der tuskischen und römischen Sprache entlehnte Initialen sind,ist zweifelhafter, als man gewöhnlich glaubt. ( Leslie Philos. of Arith. p. 7—9. 211. Debros-ses T. I. p. 436. Hervas p. 32. 35. Otfr. Müller, Etrusker, p. 304. 318.) Das griechischerechtwinklige Kreuz, ganz dem chinesischen Zeichen von 10 ähnlich, bedeutet auf den ältesten In-schriften tausend ( Boeckh, Corp. inscript. graec. vol. I. p. 23.) und ist nichts anderes, alsdie uralte Form des Chi ( Nouveau traité de Diplom. par deux Religieux de St. Maur. Vol. I.p. 678.)***) Silvestre de Sacy, Gramm. arabe, 1810. T. I. p. 74. note 6.|215| schrift hatten. Bei den Aegyptern scheinen die am meisten ge-brauchten numerischen Hieroglyphen für Einheiten, Zehner, Hunderteund Tausende auch nicht mit den phonetischen Hieroglyphen zusammen-zuhängen. Ganz unabhängig vom Alphabet ist auch die altpersische Pehlwi-Zahlenschrift in den ersten 9 Einheiten, wie bei den Tus-kern und den ältesten Griechen und den Römern. Anquetil *) bemerkt schon, daß das Zend-Alphabet, welches mit seinen 48 Ele-menten die Zahlbezeichnung hätte erleichtern können, nicht als Zifferngebraucht werde, und daß in den Zendbüchern die Zahlen immer zu-gleich in Pehlwi-Ziffern und in Zendwörtern ausgedrückt sind. Solltesich ein solcher Mangel von Zend-Zahlen durch künftige Untersuchun-gen bestätigen, so würde derselbe, bei der innigen Verwandtschaft derZendsprache mit dem Sanscrit, zu der Meinung führen, das Zend-Volkhabe sich von den Indern getrennt, als diese noch nicht den Stellenwerthder Ziffern kannten. Ueber 9 hinaus sind im Pehlwi die Gruppen-Zeichen 10, 100 und 1000 aus Buchstaben zusammengesetzt. Dal ist 10; re mit za verschlungen 100; re mit ghain verschlungen 1000. Wennman von der ganzen Masse der Zahlzeichen des Menschengeschlechts dasWenige betrachtet, was wir bisher kennen gelernt, so findet man, daßdie Eintheilung in Buchstabenzahlen und eigentlich sogenannte Zif-fern eben so unsicher und unfruchtbar ist, als die von ächten Sprach-kennern längst aufgegebene Eintheilung in ein- und mehrsylbige Spra-chen. Wer kann mit Sicherheit entscheiden, ob die Tamul-Ziffern in Süd-Indien, die keinen Stellenwerth kennen, und, bis auf die Ziffer 2,ganz von den in den Sanscrit-Handschriften gebräuchlichen abweichen,nicht von der alphabetischen Tamulschrift selbst abzuleiten sind, da manin derselben zwar nicht das Gruppenzeichen für 100, aber wohl das Grup-penzeichen 10 (im Buchstaben ya), und die 2 (im Buchstaben u) zu er-kennen glaubt? Die Telugu-Ziffern **) mit Stellenwerth, ebenfalls imsüdlichen Theile der indischen Halbinsel gebräuchlich, weichen in 1, 8 und9 sonderbar von allen uns bekannten indischen Ziffern ab, da sie hingegen

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*) Mém. de l’Acad. des belles lettres T. 31. p. 357.**) Campbell, Grammar of the Teloogoo-Language (Madras) 1816. p. 4. 208. Teloogoo ist die fälschlich genannte Gentoo-Sprache, von den Eingebornen Trilinga oder Telenga genannt.Man vergleiche die Ziffertafel von Campbell mit anderen Varietäten indischer Ziffern in Wahl’s allgem. Geschichte der morgenländ. Sprachen 1784. Tab. I.|216| in 2, 3, 4 und 6 mit denselben übereinstimmen. Das Bedürfniß, Zahlengraphisch zu bezeichnen, ist wohl am frühesten gefühlt worden, und nu-merische Zeichen gehören zu den ältesten aller Schriftzeichen. DieWerkzeuge der palpablen Arithmetik, wie sie Herr Leslie in seinemgeistreichen Werke: the Philosophy of Arithmetic (1817) der figurati-ven oder graphischen entgegensetzt, sind beide menschlichen Hände,Häufchen von Steinen (calculi, psephoi), Samenkörner, lose Schnüremit Knoten (Rechenschnüre, tatarische und peruanische quippos), einge-rahmte Suanpan und Abacus-Tafeln, die slavische Rechenmaschinemit aufgezogenen Kugeln oder Samenkörnern. Alle diese Werkzeuge lie-ferten dem Auge die ersten graphischen Bezeichnungen von Gruppenverschiedener Abstufung. Eine Hand oder eine Schnur mit Knoten oderverschiebbaren Kugeln bezeichnet die Einheiten bis 5 oder 10 oder 20.Wie oft durch Schließung der einzelnen Finger eine Hand durchgezähltist, (pempazesthai) giebt die andere Hand an, auf der dann jeder Finger,d. i. jede Einheit, eine Gruppe von Fünf ausdrückt. Eben so verhaltensich zwei lose Knotenschnüre gegen einander, und zu Gruppen 2ter, 3terund 4ter Ordnung übergehend, stehen in demselben auf- und absteigendenGruppen-Verhältniß die aufgespannten, mit Kugeln bezogenen Rechen-schnüre, der alt-asiatische Suanpan, der zu den abendländischen Völ-kern als abax oder tabula logistica früh (vielleicht durch Aegypter zur Zeit des Pythagoreïschen Bundes) übergegangen ist. Die Koua’s, welche älter als die jetzige chinesische Schrift sind, ja die notenartigen,knotigen, oft gebrochenen Parallellinien der Zauberbücher (raml) von In-ner-Asien und Mexiko scheinen nur graphische Projectionen von diesenRechen- und Denkschnüren *). Im asiatischen Suanpan oder im Abacus, dessen die Römer sich bei ihren unbehülflichen Zahlzeichen weit mehrbedienten, als die in der Zahlen-Graphik glücklicher fortgeschrittenen

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*) Im Orient wird raml die negromantische Kunst des Sandes genannt. Ganze oder ge-brochene Linien und Puncte, welche die Elemente vorstellen, leiten den Weissager. ( Richard-son and Wilkins Diction. Persian and Arabic. 1806. T. I. p. 482.) Als ein solcher orienta-lischer Raml ist das merkwürdige, ächt mexikanische, wie mit Musik-Noten bedeckte Manuscript,das zu Dresden aufbewahrt wird, und welches ich in meinen Monum. améric. pl. 44. abgebildet,von einem gelehrten Perser, der mich in Paris besuchte, auf den ersten Blick erkannt worden.Ganz ähnliche, ächt amerikanische Koua und notenförmige Linear-Zeichnungen habe ich seitdemin mehreren aztekischen hieroglyphischen Handschriften und in den Sculpturen des Palenque, imStaat von Guatimala entdeckt. Im alten Styl der chinesischen Zahlenschriften ist das Gruppen-zeichen für 10, eine Perle auf einer Schnur, offenbar (projectionsartig) vom quippu hergenommen.|217| Griechen *), erhielten sich, neben den denaren Reihen, die in geome-trischer Progression auf- und absteigen, auch quinare Reihen. Zur Seitejeder Zahlenschnur der Gruppen oder Ordnungen n, n 2, n 3 stand eine klei-nere Schnur, welche je fünf Kugeln der größeren durch eine einzigebezeichnete. Mittelst dieser Einrichtung ward die Zahl der Einheiten sovermindert, daß die Hauptschnur nur 4, die Nebenschnüre nur 1 Kugelbedurfte **). Die Chinesen scheinen, von den frühesten Zeiten an, will-kürlich irgend eine der aufeinander folgenden parallelen Schnüre, als die Schnur der Einheiten betrachtet zu haben, so daß sie, auf- undabwärts, Decimalbrüche und ganze Zahlen und Potenzen von 10 erhiel-ten. Wie spät ***) (im Anfange des 16ten Jahrhunderts?) ist in dieAbendländer die Kenntniß der Decimal-Brüche gekommen, zu welcherdie palpable Arithmetik im Orient längst geführt hatte! Bei den Grie-chen war, jenseit der Einheit, die aufsteigende Scale nur im Sexage-simal-System, bei Graden, Minuten und Secunden bekannt; aber daman nicht n—1, das heißt, 59 Zeichen hatte, ward der Stellenwerthnur in zweigliedrigen Schichten beobachtet. Wenden wir unsern Blick auf den Ursprung der Zahlen, so findenwir, daß in aufgehäuften Steinchen, oder auf den mit Kugeln bedecktenSchnüren der Rechenbretter, Zahlen mit großer Regelmäßigkeit transi-torisch geschrieben und gelesen wurden. Die Eindrücke, welche dieseOperationen hinterließen, haben überall auf die früheste Zahlen-Gra-phik eingewirkt. In den historischen, rituellen und negromantischenHieroglyphen der Mexikaner, die ich bekannt gemacht, werden dieEinheiten bis 19 (das erste einfache Gruppenzeichen ist 20) als großerunde farbige Körner nebeneinander gestellt, und, was sehr merkwürdigist, die Rechnung geht von der Rechten zur Linken, wie die semitischeSchrift. Man bemerkt diese Folge deutlichst bei 12, 15, 17, wo die ersteReihe 10 enthält, und die zweite nicht ganz ausgefüllt ist. In den älte-

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*) Nicomachus in Ast, Theologumena arithm. 1817. p. 96. In dem Finanz-Wesen desMittelalters wurde der Rechentisch (abax) zum exchequer. **) So im Römischen abacus; im Chinesischen gebrauchte man 5 und 2 Kugeln. Die nichtzählenden Kugeln wurden dann zur Seite geschoben.***) Ueber die ersten Versuche der Decimal-Bezeichnung von Michael Stifelius aus Es-lingen, Stevinus aus Brügge und Bombelli aus Bologna s. Leslie Phil. of Arithm.p. 134. |218| sten Hellenischen Monumenten, in den Tuskischen Sepulcral-Inschriften,bei den Römern und Aegyptern (wie Thomas Young, Jomard und Champollion gezeigt haben) sind die Einheiten durch senkrechteLinien bezeichnet. Bei den Chinesen und in einigen von Eckhel (T. III.410.) beschriebenen ächt phönicischen Münzen sind diese Striche bis 4horizontal. Die Römer reiheten zuweilen (das quinare Gruppenzeichenüberspringend,) in Inschriften, bis 8 Striche als Einheiten aneinander.Viele solche Beispiele giebt Marini in der merkwürdigen Schrift: Mo-numenti dei fratelli Arvali *). Die Nagelköpfe zur alten römischen Jah-res-Rechnung (annales antea in clavis fuerunt, quos ex lege vetustafigebat Praetor Maximus, sagt Plin. VII. 40.) hätten auf die mexikani-schen Einheitspuncte führen können, welche auch wirklich neben den(chinesischen und phönicischen) Horizontal-Linien, in Unter-Abtheilun-gen der Unzen und Fuße, vorkommen **). Diese Puncte und Striche, 9oder 19 an der Zahl, in der denaren oder Vicesimal-Scale (Hand- oderHand- und Fuß-Scale) des Alten und Neuen Continents sind die rohestenaller Bezeichnungen im Systeme der Juxtaposition. Man zählt dann dieEinheiten mehr als man sie lieset. Das Für sich bestehen, gleichsamdie Individualität einzelner Gruppen von Einheiten, als Zeichen, fängterst an, in den Buchstabenzahlen der semitischen und hellenischen Stämme, oder bei den Tibetanern und indischen Stämmen, diedurch einzelne ideographische Zeichen 1, 2, 3, 4 ausdrücken. Im alt-persischen Pehlwi zeigt sich ein merkwürdiger Uebergang von der ro-hen Methode der Juxtaposition von Einheitszeichen, zur isolirten Existenzzusammengesetzter ideographischer Hieroglyphen. Der Ursprung der er-sten 9 Ziffern durch Zahl der Einschnitte oder Zähne, liegen hier vorAugen; 5 bis 9 sind sogar bloße Verschlingungen der Zeichen 2, 3 und4, ohne Wiederkehren des Zeichens von 1. In den ächt-indischen Sy-stemen der Devanagari, persischen und arabisch-europäischen Ziffern,sind nur in 2 und 3, Contractionen ***) von 2 und 3 Einheiten zu er-kennen, gewiß nicht in den höheren Ziffern, welche in der indischenHalbinsel auf die sonderbarste Weise von einander abweichen.

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*) T. I. p. 31. T. II. p. 675. z. B. in Octumvir. **) Marini T. I. p. 228.***) Abel Remusat, Langues Tatares p. XXX. Ueber die sonderbaren indischen Ziffern in Java s. Crawfurd II. p. 263.|219| Indem ich hier und in den folgenden Theilen der Abhandlung der indischen Zahlen erwähne, muß ich mich zuerst über diese Benennungund über die alten Vorurtheile, als habe Indien einerlei gestaltete Ziffernund keine Buchstaben-Zahlen, als sei in Indien überall Kenntniß desStellenwerthes und Nicht-Gebrauch von eigenen Gruppen-Zeichen für n, n 2, n 3 .... erklären. So wie, nach der oftmaligen Aeußerung mei-nes Bruders, Wilh. von Humboldt, das Sanskrit sehr unbestimmtdurch die Benennungen „indische und alt-indische Sprache” bezeich-net wird, da es in der Indischen Halbinsel mehrere sehr alte, vom Sanskritgar nicht abstammende Sprachen giebt: so ist auch der Ausdruck „in-dische, alt-indische Ziffern” im Allgemeinen sehr unbestimmt, und dieseUnbestimmtheit bezieht sich sowohl auf die Gestaltung der Zahlzeichenals auf den Geist der Methoden, welche man durch Juxtaposition, oderdurch Coefficienten, oder durch bloßen Stellenwerth der Haupt-Gruppen n, n 2, n 3 und der Vielfachen derselben 2 n, 3 n .... bezeichnet. Selbstdie Existenz eines Null-Zeichens ist, wie das Scholion des Neophytos lehrt, in indischen Ziffern noch kein nothwendiges Bedingniß des Stel-lenwerthes. Im südlichen Theile der indischen Halbinsel sind die Ta-mul- und Telugu-Sprachen die weitverbreitetsten. Die Tamulsprechen-den Inder haben von ihrem Alphabet abweichende Zahlzeichen, von de-nen die 2 und die 8 eine schwache Aehnlichkeit mit den indischen (De-vanagari-) Ziffern von 2 und 5 haben *). Noch verschiedener von denindischen Ziffern sind die cingalesischen **). In diesen und den Ta-mulischen findet man keinen Stellenwerth, kein Nullzeichen, sondern Hie-roglyphen für die Gruppen n, n 2, n 3 .... Die Cingalesen operirendurch Juxtaposition, die Tamulen durch Coefficienten. Jenseits des Ganges, im Burman-Reiche, sehen wir Stellenwerth und Nullzeichen;aber von den arabischen, persischen und Devanagari-indischen Zifferngänzlich abweichende Zeichen ***). Die von den Arabern gebrauchtenpersischen Ziffern weichen alle 9 gänzlich von den Devanagari-Ziffern †) ab;

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*) Robert Anderson, Rudiments of Tamul Grammar. 1821. p. 135.**) James Chater, Grammar of the Cingalese language, Colombo 1815. p. 135.***) Carey, Grammar of the Burman language. 1814. p. 196. Bloß die Burmanischen Ziffern3, 4 und 7 haben einige Aehnlichkeit mit 2, 5 und 7.†) Vergl. John Shakespear, Grammar of the Hindustani language. 1813. p. 95. u. Pl. I. William Jones, Grammar of the Persian language. 1809. p. 93. Silvestre de Sacy, Gram-maire arabe. Pl. VIII. |220| 7 ist wie eine römische, 8 wie eine tuskische 5 gestaltet. Unter dem,was wir heute arabische Ziffern nennen, sind bloß 1, 2, 3 den Devana-gari-Ziffern gleicher Bedeutung ähnlich; die devanagari 4 ist unsere 8;unsere 9 ist eine devanagari 7; unsere 7 ist eine persische 6. Im Ben-gali ist 5 ein halber Mond und 3, 5, 6, 8 und 9 weichen ganz von denDevanagari-Ziffern ab *). Bloß verunstaltete indische Devanagari-Ziffernsind die von Guzerath **). Betrachtungen über den Einfluß der frühesten Zahlzeichen auf dasAlphabet, über geflissentliche Verunstaltungen der Buchstaben, um sienicht mit Ziffern zu verwechseln, über die verschiedene Reihung derZahlbuchstaben, welche bei demselben Volke nicht immer mit dem üb-lichen Alphabet übereinstimmt (wie im aboudjed semitischer Stämme in Asien und Afrika ***), gehören nicht in diese Abhandlung, und ha-ben zu vielen grundlosen Hypothesen im Felde der vergleichenden Alpha-betik und Hieroglyphik Anlaß gegeben. Ich habe selbst ehemals dieVermuthung geäußert, daß die indischen Zahlen, trotz der Form von 2und 3, Buchstaben eines alten Alphabets sind, dessen Abglanz sich nochin den phönicischen, samaritanischen, palmyrischen und ägyptischen(Mumien-) Schriftzügen, ja an den alt-persischen Monumenten von Nak-schi-Rustan †) findet. Wie viele Lettern sehen nicht in diesen Al-phabeten den ausschließlich sogenannten indischen Ziffern ähnlich. Einphönicischer Ursprung der sogenannten indischen Zahlen ist schon vonanderen Gelehrten behauptet worden ††), und der scharfsinnige Eckhel machte schon darauf aufmerksam, daß die Zahlen-Aehnlichkeit phönici-scher Buchstaben so auffallend sei, daß das Wort Abdera durch 19990und 15550 bezeichnet werde †††). Aber über diesen Ursprung der Zif-fern und Buchstaben herrscht ein Dunkel, welches bei den vorhandenen

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*) Graves Chamney Haughton, Rud. of Bengali Grammar. 1821. p. 133. **) Robert Drummond, Illustrations of the Grammat. Parts of the Guzerath and Mahratt-language. 1808. p. 25.***) Silvestre de Sacy T. I. p. 10. †) Silvestre de Sacy, Antiquités de la Perse. Pl. I. n. 1. Vergl. die Zahlen-Inschriftenam Sinai in Descr. de l’Egypte. Vol. 5. Pl. 57.††) Guyot de la Marne in Mém. de Trevoux 1736. p. 160. 1740. Mars p. 260. Jahn Bibl. Archaeolog. B. I. p. 479. Büttner vergl. Tafeln 1779. St. 2. p. 13. Eichhorn Einleit.in das alte Testament. B. I. p. 197. Wahl, Gesch. der morgenl. Litt. p. 601. 630. Fundgrubendes Orients B. 3. p. 87. †††) Doctrina nummorum veterum. 1794. T. III. p. 396—404, 421, 494.|221| Materialien eine gründliche philologische Untersuchung unmöglich macht,wenn man sie nicht auf negative Resultate beschränken will. So wie oft dieselben Völker zugleich mit Buchstaben-Zahlen undideographischen oder willkürlich gewählten Zahlzeichen rechnen, so fin-den sich auch in einem und demselben Zahlen-System, in Hinsicht aufden Ausdruck der multipla der Fundamental-Gruppe, die verschieden-artigsten Methoden, ja was in einem System gleichsam nur angedeutetist, zeigt sich im andern vollständig entwickelt. Eben so präludiren,in den Sprachen, bei einer Nation grammatische Formen, welche eineandere mit besonderer Vorliebe und allem Aufwande intellectueller Kraftausgebildet hat. Beschreibt man die Zahlensysteme einzeln, wie sie je-des Volk anwendet, so verdunkeln sich die Aehnlichkeiten der Methoden;man verliert die Spur, auf welcher der menschliche Geist zu dem Mei-sterwerke der indischen Arithmetik gelangt ist, in der jedes Zeichen ei-nen absoluten und relativen Werth hat, in der sie in geometrischer Pro-gression von der Rechten zur Linken wachsen. Ich verlasse daher in denfolgenden Sätzen die ethnographische Folge und betrachte bloß die verschie-denen Mittel, welche angewandt wurden, um dieselben Gruppen von Ein-heiten (gemischte oder ungemischte Gruppen) graphisch auszudrücken. Erste Methode. Juxtaposition; bloß additiv bei Buchstaben-zahlen und eigentlichen Ziffern. So Tusker, Römer, Griechen, biszu der Myriade, semitische Stämme, Mexikaner und der größereTheil der Pehlwi-Ziffern. Diese Methode macht besonders das Rechnenbeschwerlich, wenn die multipla der Gruppen (2n, 3n, 2n 2 ....) nichteigene Zeichen haben. Bei den Tuskern und Römern ist Wiederho-lung von den Zeichen 10 bis 50, bei den Mexikanern, wo das ersteGruppenzeichen 20 (eine Fahne) ist, findet Wiederholung desselben Hiero-glyphen bis 400 statt. Dagegen haben die Griechen in den beiden Reihender Zehner und Hunderter, die mit iota und rho anfangen, Zeichen für20, 30, 400 und 600. Drei Episemen (Buchstaben eines veralteten Al-phabets) bau, koppa und sampi drücken aus: 6, 90 und 900; die letzte-ren beiden schließen die Reihen der Zehner und Hunderter, wodurchder Zahlenwerth der griechischen Buchstaben dem des semitischen aboud-jed’s etwas ähnlicher wird *). Herr Böckh hat in seinen gelehrten Un-

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*) Hervas Arithm. delle nazioni. p. 78. Ueber alte Reihenfolge der Lettern in semitischenAlphabeten: Descript. de l’Egypte moderne. T. II. P. II. p. 208.|222| tersuchungen über das Digamma gezeigt, daß bau das wau der Semi-ten (der Lateiner) ist; koppa war das semitische koph (9) und sampi das semitische schin *). Die Reihe der Einheiten von alpha bis theta bildet bei den Griechen die Wurzelzahlen (püthmenes), mit welchenman durch Kunstgriffe, die Apollonius erfand **), im Rechnen so ope-rirte, daß man sie, im letzten Resultate, auf die correspondirenden Glie-der der 2ten und 3ten Reihen (der Analogen) reducirte. Zweite Methode. Vervielfachung oder Verminderungdes Werthes durch darüber oder darunter gesetzte Zeichen. In der vierten Reihe der griechischen Notation kehren bekanntlich die püthmenes aus Analogie wieder, tausendfach vermehrt, durch Hinzufü-gung eines Strichs nach unten. So reichte man bis zur Myriade; manschrieb bis 9999. Hätte man die Strich-Notation für alle Gruppen an-gewandt, und alle Zeichen nach dem theta (9) unterdrückt, so hätte manfür β, mit einem oder 2 oder 3 Strichen, Ausdrücke für 20, 200 und2000 gehabt, und sich, wie wir bald sehen werden, den wenig bekann-ten arabischen Gobar-Zahlen, und mit ihnen den Stellenwerthen genä-hert; aber mit einer unglücklichen Ueberspringung der Gruppen von Zeh-nern und Hunderten, fing die Strich-Notation erst mit den Tausendenan, und ward selbst nicht in höheren Gruppen versucht. Wenn ein Strich, der unten zugefügt wird, die Zahl tausendfachvermehrt, so bezeichnet dagegen bei den Griechen ein senkrechterStrich, oben hinzugefügt, einen Bruch, dessen Zähler die Einheit und dessenNenner die Zahl ist, welche unter dem Strich notirt wird. So ist im Diophantus γ′ = \( \frac{1}{3} \); δ′ = \( \frac{1}{4} \), aber die untere Zahl bezeichnet den Zähler,wenn dieser größer als die Einheit ist, und der Nenner des Bruches wirdalsdann wie ein Exponent geschrieben, so daß z. B. γδ = \( \frac{3}{4} \) ***). In rö-mischen Inschriften vermehrt ein Horizontal-Strich, nach oben zuge-fügt, die Zahl tausendfach, was als ein Mittel der Abkürzung und Er-sparung des Raumes betrachtet werden kann.

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*) Staatshaushaltung der Athener B. II. p. 385. **) Delambre hist. de l’astron. ancienne T. II. p. 10.***) Delambre T. II. p. 11. Der Strich, der zu den Buchstaben oben hinzugefügt wird, bloßum anzuzeigen, daß sie als Zahlen gebraucht werden, muß nicht mit dem Fractionszeichen verwech-selt werden. Auch ist derselbe in den älteren mathematischen Handschriften eigentlich nie senkrecht,sondern horizontal, und daher mit dem Fractionszeichen nie zu verwechseln. ( Bast: de usu littera-rum ad numeros indicandos in Gregorii Corinthii liber de dialectis linguae graecae 1811. p. 850.)|223| Wichtiger ist die Methode des Eutocius zum Ausdruck der My-riaden. Hier treffen wir bei den Griechen die erste Spur des, fürden Orient so wichtigen Exponential- oder vielmehr Indications-Systems. M α, M β, M γ bezeichnen 10000, 20000, 30000. Was hier bei den My-riaden allein angewandt wird, geht bei den Chinesen und den Japa-nesen, die ihre Cultur von den Chinesen 200 Jahre vor unserer Zeit-rechnung erhielten, durch alle multipla der Gruppen durch. Drei Hori-zontalstriche unter dem Zeichen von zehn bedeuten 13; aber drei Hori-zontalstriche darüber bedeuten 30. Nach dieser Methode wird 3456 alsogeschrieben (ich bediene mich der römischen Zahlen als Gruppenzeichen,der indischen als Exponenten):

• M 3
• C 4
• X 5
• I 6.

Bei den Aegyptern finden sich dieselben Indicatoren. Auf einen ge-krümmten Strich *), der 1000 andeutet, werden 2 oder 4 Einheiten ge-stellt für 2000 und 4000. Bei den Azteken oder Mexikanern habeich für 312 Jahre das Zeichen der Ligatur mit 6 Einheiten als Ex-ponent gefunden (6 × 52 = 312) und in meinem Werke über Amerika-nische Monumente abgebildet. Bei Chinesen, Azteken und Aegyp-tern steht überall das Gruppenzeichen unten, als schriebe man gleich-sam X 5 für 50; in den arabischen Gobar-Ziffern steht das Gruppenzeichenüber dem Indicator. Im Gobar sind nemlich die Gruppenzeichen Puncte,also Nullen, denn in Indien, Tibet und Persien sind Nullen undPuncte identisch. Diese Gobar-Zeichen, welche seit dem Jahre 1818meine ganze Aufmerksamkeit auf sich gezogen haben, sind von meinemFreunde und Lehrer, Herrn Silvestre de Sacy, in einem Manuscriptaus der Bibliothek der alten Abtey St. Germain du Près entdecktworden. Dieser große Orientalist sagt: Le gobar a un grand rapportavec le chiffre indien, mais il n’a pas de zéro **). Ich glaube, daß aller-

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*) Kosegarten de Hierogl. Aegypt. p. 54. Gatterer’s aus Bianchini (Decad. I.cap. 3. p. 3.), aus Goguet (I. p. 226.) und aus Debrosses (I. p. 432.) entlehnte Behauptung,daß Aegypter in senkrechter Richtung den 9 Einheiten Stellenwerth gaben, ist durch neuere Un-tersuchungen keinesweges bestätigt worden. Gatterer, Weltgeschichte bis Cyrus, p. 555. 586. **) S. Gramm. arabe p. 76. und die der Pl. 8. zugefügte Note.|224| dings das Nullzeichen vorhanden sei: es steht aber, wie im Scholion des Neophytos, über den Einheiten, nicht daneben; ja es sind gerade dieNullzeichen oder Puncte, welche diesen Characteren den sonderbaren Na-men gobar oder Staubschrift gegeben. Man ist auf den ersten Blickungewiß, ob man einen Übergang zwischen Ziffern und Buchstaben darinerkennen soll. Man unterscheidet mit Mühe die indische 3, 4, 5 und 9. Dal und ha sind vielleicht schlecht gestellte indische Ziffern 6 und 2.Die Indication durch Puncte ist folgende:

• 3․ für 30,
• 4‥ für 400,
• 6∴ für 6000.

Diese Puncte erinnern an eine alt-griechische, aber seltene Bezeichnung *),die erst mit der Myriade anfängt: α‥ für 10000, β∷ für 200 Millionen.In diesem Systeme geometrischer Progressionen ist ursprünglich ein Punct,den man aber nicht anwendet, 100. Bei Diophantus und Pappus stehet ein Punct zwischen den Buchstabenzahlen, statt der Initiale Μυ(Myriade). Ein Punct multiplicirt dann, was zur Linken steht, 10000 mal.Man möchte glauben, daß dunkle Ideen von Bezeichnungen durch Puncteund Nullen sich durch Alexandriner aus dem Orient nach Europa ver-breitet hatten. Das wirkliche Nullzeichen, und als etwas Fehlendes, wendet Ptolemäus in der abwärts steigenden Sexagesimal-Scale fürfehlende Grade, Minuten oder Secunden an. Auch in Handschriften des Theon, im Commentar zur Syntaxis des Ptolemäus, will Delambre das Nullzeichen gefunden haben **). Es ist daher im Occident weit äl-ter, als der Einbruch der Araber. Planudes Schrift über die arith-moi indikoi.

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*) Ducange Palaeogr. p. XII. **) Histoire de l’astron. ancienne T. I. p. 547. T. II. p. 10. Die Stelle im Theon ist inseinen gedruckten Werken nicht aufzufinden. Delambre ist geneigt, das griechische Nullzeichenbald der Abbreviatur von ouden, bald einer besonderen Beziehung zuzuschreiben, in welcher dasZahlzeichen omicron mit den Sexagesimal-Brüchen steht. L. c. T II. p. 14. und Journal des sa-vans. 1817. p. 539. Sonderbar, daß in der alt-indischen Arithmetik der Lilawati die Null nebeneiner Zahl bedeutet, daß die Zahl abzuziehen ist. Delambre I. p. 540. Was bezeichnet der Ling (eine wahre Null), welcher in den chinesischen Zahlzeichen unter 12, 13, 22, 132 geschrieben wird?In römischen Inschriften sind Nullen mehrfach wiederholte Obole. ( Böckh Staatshaushaltungder Athener B. 2. S. 379.)|225| Dritte Methode. Vervielfachung des Werthes durchCoefficienten. Was wir bei den Chinesen als Indicatoren in der senkrechtenSchrift gefunden haben, ein Unterschied von \( \underset{2}{X} = 12 \) und \( \overset{2}{X} = 20 \), wirdin horizontaler Richtung bei Griechen, bei Armeniern und bei den Tamul-redenden Bewohnern der südlichen Halb-Insel von Indien wie-derholt. Diophantus und Pappus schreiben βΜυ für zweimal zehn-tausend oder 20000, da αΜυβ (wenn β der Initiale der Myriade rechtssteht) einmal zehntausend plus zwei, oder 10002 bezeichnet. Dasselbe fin-det statt bei den Tamulziffern, gleichsam als wäre 4 X = 40 und X 4 = 14.Im alt-persischen Pehlwi, nach Anquetil, und im Armenischen, nach Cerbied *) erkennt man links stehende Multiplicatoren, um die Viel-fachen von 100 auszudrücken. Hierher gehört auch, der Methode nach,der oben erwähnte Punct des Diophantus, welcher für Μυ stehet und1000 mal das Vorhergehende erhöht **). Vierte Methode. Vervielfältigung und Verminderung,aufsteigend und absteigend, durch Abtheilung von Zahl-schichten, deren Werth sich in geometrischer Progressionvermindert. Archimedes in den Octaden, Apollonius in den Tetraden, habendiese Notation nur in Zahlen über (10000)2 und in 100 Millionen odereiner Myriade von Myriaden gebraucht ***). Hier ist offenbar Stellen-werth derselben Zeichen, die in verschiedenen Schichten aufeinanderfolgen, also ein relativer und absoluter Werth, wie in der absteigendenSexagesimal-Scale der alexandrinischen Astronomen, wenn sie Grade,Minuten, Secunden angeben. Da aber im letzteren Falle (aus Mangel von n—1 oder 59 Zeichen) jede Schicht zweiziffrig ist, so kann der Stellen-werth nicht den Vortheil indischer Zahlen gewähren. Wenn die drei-hundert sechzigsten Theile eines Kreises als Ganze betrachtet werden,so sind Minuten Sechzigstel dieser Ganzen, Secunden Sechzigstel der Mi-nuten u. s. f. Als Brüchen gab ihnen Ptolemäus demnach bruch-ähnliche Zeichen, den Strich nach oben, und um die absteigende Progres-

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*) Grammaire Armenienne. 1823. p. 25. **) Solche Abtheilungen durch Puncte, welche, auf eine übrigens sehr inconsequente Weise,einen Stellenwerth bezeichnen, findet man ebenfalls in drei oft bestrittenen Stellen des Plinius ( VI. 24. 33. XXX. 3).***) Delambre, Hist. de l’astron. ancienne T. I. p. 105. T. II. p. 9. |226| sion anzudeuten, in welcher jede Schicht von 2 Ziffern 60 mal kleinerals die vorhergehende ist, wurden die Bruchstriche von Schicht zuSchicht vervielfältigt. Auf diese Weise erhielten die Minuten den ein-fachen Strich der gemeinen griechischen Brüche (deren Zähler die Ein-heit ist), die Secunden zwei solcher Striche, die Tertien drei, die Gradeselbst, als das Ganze, keinen Strich, vielleicht als nichts (ouden) eineNull *). Ich sage vielleicht, denn im Ptolemäus und Théon fehlennoch Nullen als Gradzeichen. In der einfachen Herzählung der verschiedenen Methoden, welcheVölker, denen die indische Positions-Arithmetik unbekannt war, ange-wandt haben, um die multipla der Fundamental-Gruppen auszudrücken,liegt, glaube ich, die Erklärung von der allmäligen Entstehung des in-dischen Systems. Wenn man 3568 perpendiculär und horizontal durchIndicatoren schreibt: \( \overset{3}{M}\overset{5}{C}\overset{6}{X}\overset{8}{I} \), so erkennt man leicht, daß die Gruppen-zeichen M, C ... weggelassen werden können. Unsere indische Zah-len sind aber nichts anderes als die Multiplicatoren der verschiedenenGruppen. An diese alleinige Bezeichnung durch Einheiten (Multiplica-toren) erinnert ohnedies der Suanpan, mit seinen aufeinanderfolgendenSchnüren der Tausende, Hunderte, Zehner und Einheiten. Diese Schnürezeigten in dem gegebenen Falle 3, 5, 6 und 8 Kugeln. Hier ist keinGruppenzeichen sichtbar. Die Gruppenzeichen sind die Stellen selbst,und diese Stellen (Schnüre) sind mit den Einheiten (Multiplicatoren) ge-füllt. Auf beiden Wegen der figurativen (schreibenden) und palpablen(betastenden) Arithmetik gelangt man also zur indischen Position. Ist dieSchnur leer, die Schicht im Schreiben offen, fehlt eine Gruppe (ein Gliedder Progression), so wird die Leere graphisch durch den Hieroglyphendes Leeren, einen unausgefüllten Kreis: Sunya, sifron, tzüphra **) ausgefüllt.

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*) Ueber Anwendung des Nullzeichens s. Leslie p. 12. 135. Kuithen, Germanen und Griechen Hist. 2. p. 2—33. Ducange Glossar. mediae graecitatis T. II p. 572. Mannert de numerorum quos arabicos vocant origine. Pythagor. p. 17. In der griechischen Arithmetikbedeutet M° eine Einheit, monas, wie ein delta mit übergeschriebener Null (eigentlich omicron), tetartos; Bast, Gregor. Cor. p. 851. So ist beim Diophantus M° κ α = 21. Das indische gram-matische Zeichen, Anuswara, hat allerdings die Form der indischen Null (Sunya). Es bezeichnetaber nur eine Modification in der Betonung des nahe stehenden Vocals und ist dem Sunya gänz-lich fremd.**) Im Englischen hat sich cypher für Null erhalten, da in den abendländischen Sprachen,welche zéro (sifron siron) für Null gebrauchen, Ziffer nur ein Zahlzeichen im Allgemeinen andeu-tet. Im Sanscrit heißt nach Wilson Zahl, Quantität: sambhara. |227| Für die successive Vervollkommnung der Zahlenbezeichnung in Indien sprechen die Tamul-Ziffern, die durch 9 Zeichen der Einheitenund durch Gruppenzeichen für 10, 100 oder 1000 alle Werthe mittelstder links zugefügten Multiplicatoren ausdrücken; dafür sprechen endlichdie sonderbaren arithmoi indikoi im Scholion des Mönchs Neophytos, welches in der Pariser Bibliothek (Cod. Reg. fol. 15.) aufbewahrt wird,und dessen gütige Mittheilung ich Herrn Prof. Brandis verdanke. Die9 Ziffern des Neophytos sind, außer der 4, ganz den persischen ähn-lich. Die Ziffern 1, 2, 3 und 9 finden sich sogar in ägyptischen Zah-len-Inschriften *). Die 9 Einheiten werden 10fach, 100fach, 1000facherhöht, indem man eine, zwei oder drei Nullen darüber schreibt, gleich-sam also: \( \overset{\circ}{2}=20 \), \( \overset{\circ}{24}=240 \), \( \overset{\circ\circ}{5}=500 \), \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{6}=6000 \). Denken wir uns stattder Nullen Puncte, so haben wir die arabischen Gobar-Ziffern. Ich lassehier das Scholion in einer wörtlichen lateinischen Uebersetzung folgen.Der Mönch nennt fälschlich tzüphron ein indisches Wort. Tzyphra est et vocatur id, quod cuivis litterae inde a decade etinsequentibus numeris quasi ο̄μικρὸν inscribitur. Significat autem hac In-dica voce tale analogiam numerorum. Ubi igitur scriptum est simileprimae litterae ἄλφα, pro unitate scriptae, atque superimpositum habetvel punctum vel quasi ο̄μικρὸν, addita altera figura litterae Indicae, dif-ferentiam et augmentum numerorum declarat. E. g. pro primo Graeconumero, ᾱ scripto, apud Indos | sive linea recta perpendicularis, quandonon habet superimpositum punctum vel ο̄μικρὸν, ipsum hoc denotat uni-tatem, ubi vero superimpositum sit punctum atque altera littera ad-scripta sit, figura quidem similis priori, significat XI, propter addita-mentum similis litterae atque superimpositum unum punctum. Simili-ter etiam in reliquis litteris, quemadmodum adspectus docet. Si veroplura habet puncta, plura denotat. Quod intelligas, lector, et supputesunumquidque. Von Position ist hier nicht mehr zu erkennen als in der Gobar- Methode. Man schrieb 3006 also: \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{36} \); aber man mußte bald bemerken,daß dieselben Ziffern mit anderen Werthen wiederkamen, daß (wennalle Gruppen ausgefüllt waren) in \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{3} \) \( \overset{\circ\circ}{4} \) \( \overset{\circ}{6} \) 7 die so regelmäßig abnehmen-

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*) Kosegarten p. 54.|228| den Puncte oder Nullen überflüssig wurden. Diese Nullen erleichter-ten gleichsam nur das Aussprechen der Zahlen. Entstand die Gewohn-heit, die Nullen statt über die Ziffern, neben dieselben zu schreiben, sohatte man die jetzige indische Bezeichnung für die ungemischte Gruppe \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{3}=3000 \). Wollte man zu \( \overset{\overset{\circ}{\circ\circ}}{3} \) oder 3000, \( \overset{\circ}{4}=40 \) addiren, so füllte man die-jenige Null-Stelle aus, in welche 40, nach seinem die Gruppen-Stufe be-zeichnenden Exponenten, hingehört. Man erhielt so: 3040 und von den3 Nullen, welche den Tausenden eigenthümlich sind, und welche auf dieLinie mit den Einheiten herabgezogen wurden, blieben zwei, als leere,unausgefüllte Stellen. Nach Neophytos Scholion sind also Nullen (wiePuncte im Gobar) Indicatoren für die Notation der aufsteigenden Grup-pen, und man begreift, aus den eben entwickelten Betrachtungen, wie dieseNullen, bei Einführung des Stellenwerthes der Ziffern, in die Reihe her-abkommen und sich dort erhalten konnten. Wenn wir noch einmal den Blick auf die vielen, zum Theil so wenigbekannten, Notationsmethoden der Völker beider Continente zurückwerfen,so sehen wir 1° wenige Gruppenzeichen, und fast nur für n 2, n 3, n 4 ....,nicht für 2n, 3n, und 2 n 2, 2n 3 .... wie bei Römern *) und Tuskern X, C, M (daher alle Zwischenstufen, z. B. 2 n oder 2 n 2, durch Juxtaposi-tion wie in XX oder CCC bezeichnet werden); 2° viele Gruppenzeichennicht bloß für n, n 2 (iota und rho in den griechischen Buchstaben-Ziffern),sondern auch für 3 n oder 4 n 2 (in λ und υ), woraus große Heterogenëi-tät der einzelnen Elemente im Ausdruck für 2 + 2 n + 2 n 2 entstehet (z. E.σκβ für 222); 3° Bezeichnung der Vielfachen der Fundamental-Gruppeund ihrer Potenzen (2 n, 3 n, 4 n 2, 5 n 2), entweder durch Hinzufügung (dar-über und daneben) von Indicatoren zu den Gruppenzeichen (chinesisch: \( \overset{2}{X} \), \( \overset{3}{X} \), \( \overset{4}{C} \), \( \overset{5}{C} \); indisch-tamulisch 2 X, 3 X, 4C, 5 C), oder durch stufenweiseBepunctung oder Accentuirung der ersten 9 Einheitszeichen, gleichsam\( \overset{․}{α} \) für 10, \( \overset{․}{β} \) für 20, \( \overset{‥}{α} \) für 100, \( \overset{∴}{α} \) für 1000, \( \overset{∷}{δ} \) für 40000, im Gobar, imScholion des Neophytos, und in absteigender Sexagesimal-Scale deralexandrinischen Astronomen für \( \frac{1}{60} \), \( \frac{1}{60^2} \), \( \frac{1}{60^3} \), in 1° 37′ 37″ 37‴ ....Wir haben gesehen, wie die Indicatoren (Multiplicatoren) der Ost-Asia-

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*) Wir abstrahiren hier der Kürze wegen von den Gruppenzeichen des dazwischen laufenden quinaren Systems V, L, D ....|229| ten und Bewohner der südlichen und indischen Halb-Insel, oder, wennursprünglich Gruppenzeichen für n, n 2, n 3 verschieden waren, wie dieAccentuirung der Püthmenes im Gobar-Systeme, oder Scholion des Neo-phytos, ja endlich wie die Kugelschnüre des Suampan, in dem ein poten-zirter Werth nur durch relative Lage der Schnur ausgedrückt wird,zum Stellenwerthe führen konnten. Ob das einfache indische Positions-System seinen Weg in dieAbendländer durch den Aufenthalt des gelehrten Astronomen RihanMuhammed ebn Ahmet Albiruni in Indien *), oder durch mau-rische Zollbeamte an der nord-afrikanischen Küste und den Verkehrder italienischen Kaufleute mit diesen Zollbeamten gefunden hat, lassenwir hier unentschieden. Eben so ungewiß ist es, trotz des Alters derindischen Cultur, ob das Positionssystem, welches so mächtig auf den Zu-stand der Mathematik eingewirkt hat, schon zur Zeit der macedonischenExpedition jenseits des Indus bekannt war. Wie ganz anders, vervoll-kommnet, würden Archimedes, Apollonius von Perga und Dio-phantos die mathematischen Wissenschaften dem gelehrten Zeitalterder Haschemiten überliefert haben, wenn die Abendländer, 12 oder13 Jahrhunderte früher, also durch Alexanders Heerzüge, die indi-sche Positions-Arithmetik empfangen hätten. Aber der von den Grie-chen durchzogene Theil von Vorder-Indien, das Penjab bis Palibo-thra hin, war, nach Herrn Lassen’s gelehrten Untersuchungen, einWohnsitz wenig cultivirter Völker. Von den östlicher wohnenden wur-den sie selbst Barbaren genannt. Erst Seleucus Nicator drang überdie Grenze, welche Cultur und Uncultur schied, über den Fluß Saras-vatis **) bis zum Ganges vor. Wir sehen aus den alten indischen Ta-mul-Ziffern, die durch beigesetzte Multiplicatoren 2n, 3n 2 .... aus-drücken, und daher außer den Zeichen für die ersten 9 Einheiten, eigeneZeichen für n, n 2, n 3 .... haben, daß in Indien, neben dem fast alleinsogenannten indischen (oder arabischen) Zahlen-Systeme mit Stellen-werth, auch andere, ohne Stellenwerth, gleichzeitig existirt haben. Viel-leicht kamen Alexander und seine bactrischen Nachfolger bei ihrem tem-

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*) Nach des gelehrten, der griechischen und arabischen Astronomie gleich kundigen Orien-talisten Sedillot Bemerkung.**) Lassen, Comment. geogr. de Pentapot. p. 58.|230| porären Vordringen nicht mit Nationen in Contact, bei welchen die Po-sitions-Methode ausschließlich vorherrschte. Möchten die Spuren von dem Vielen, was noch zu entdecken übrigist, recht bald ernster verfolgt werden, theils von Philologen, welchegriechische, persische oder arabische *) Handschriften zu untersuchen Ge-legenheit finden, theils von Reisenden, die sich in der indischen Halb-Insel selbst aufhalten. Die bloße Pagination alter Codices aus der Sanscrit-Literatur kann zu merkwürdigen Beobachtungen führen. Wer würdez. B. geahndet haben, daß es unter den Indiern, neben der Decimal-Po-sitions-Arithmetik, ein Sedecimal-System ohne Position gab, daß ge-wisse indische Stämme meist nach Gruppen von 16, wie die amerikani-schen Völker, die Kymren und Basken, nach Gruppen von 20 zähl-ten. Eine solche seltsame Numeration ist aber vor mehr als 10 Jahrenin einem Codex des alt-indischen Gedichts Mahabharata (Cod. Reg. Paris.p. 178.) vom Herrn Professor Bopp aufgefunden, und mir zu der Zeit, alsich meine erste Abhandlung über die Zahlzeichen der Völker der Académie des inscriptions et belles lettres vorlegte, gütigst zur Bekannt-machung mitgetheilt worden. Fünf und sechszig Seiten dieser Hand-schrift sind mit indischen Buchstabenzahlen paginirt, doch so,daß nur die Consonanten des Sanskrit-Alphabets (k für 1, kh für 2 ....)gebraucht werden, was dem bisher so allgemein verbreiteten Vorur-theile **) widerspricht, als fänden sich in Indien bloß Ziffern, nichtBuchstaben als Ziffern gebraucht, wie bei semitischen Stämmen undden Griechen. Mit der 60sten Seite beginnt die wunderbare Sedeci-mal-Notation. Man erkennt in den ersten 15 püthmenes kaum zweiZeichen, — die Sanskrit-Buchstaben sind etwa für 3 ein aspirirtes t und für 12 ein d, — eben so wenig die eigentlich sogenannten indischen

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*) Unter den arabischen Handschriften sind besonders solche zu empfehlen, welche vom Zoll-und Finanzwesen, oder von der Arithmetik im Allgemeinen handeln, z. B. Abu Jose Alchin-dus de arithmetica indica; Abdelhamid Ben Vasee Abulphadl, de numerorum proprieta-ibus; Ahmad Ben Omar Alkarabisi liber de indica numerandi ratione; die indische Alge-bra des Katka; Mohammed Ben Lara de numerorum disciplina ( Casiri Bibl. arabico-hispana T. I. p. 353. 405. 410. 426. 433.)**) Si l’arithmétique de position n’est pas originaire de l’Inde, elle doit au moins y avoirexisté de tems immémorial; car on ne trouve chez les Indiens aucune trace d’une notation alpha-bétique telle que la notation des Hébreux, des Grecs et des Arabes ( Delambre Hist. de l’astron.ancienne T. I. p. 543.).|231| (arabischen) Zeichen. Merkwürdig ist, daß die Ziffer 1 mit einer bei-gesetzten Null 4, die Ziffer 1 doppelt (zwei senkrechte Striche) mit einerbeigesetzten Null 8 bedeuten, gleichsam Ruhepuncte, Mittelstufen des Se-decimal-Systems für \( \frac{1}{4} \) und \( \frac{1}{2} \) n; aber \( \frac{3}{4} \) von n (12) ist ohne Null undhat eine eigene Hieroglyphe, der arabischen 4 ähnlich. Für die Normal-gruppe selbst, 16, und für die multipla der Normalgruppe: 2 n, 3 n ....werden die bekannten bengalischen Ziffern gebraucht, so daß 16 die ben-galische 1 mit einem vorgesetzten gekrümmten Striche; 32 die benga-lische 2; 48 die bengalische 3 ist. Die multipla von n sind also bloßwie Gruppen erster, zweiter, dritter .... Ordnung; die Zahlen 2 n + 4oder 3 n + 6 (d. i. im Sedecimal-System 36 und 54) sind durch einebengalische 2 und eine beigefügte Mahabharata-Ziffer *) 4, wie durcheine bengalische Ziffer 3 und eine beigefügte Mahabharata-Ziffer 6bezeichnet: eine zwar sehr regelmäßige, aber unbehülflich verwickelteArt zu numeriren, deren Ursprung um so räthselhafter ist, da sie dieKenntniß der bengalischen Ziffern voraussetzt.