De los sistemas de cifras usados por diferentes pueblos, y del origen del valor de posicion de las cifras indias. (Diario de Crelle, tom. 4. °, pag. 206). = Memoria leida en la Academia de Ciencias de Berlin el 2 de marzo de 1829, por el Sr. Baron Alejandro de Humboldt, traducida del aleman por Woepcke. (Ann. de Mathem., octubre y noviembre 1851.) En las investigaciones hasta el dia hechas acerca de los signos de la numeracion (unicos geroglificos que en los pueblos del antiguo continente se hayan conservado a la par con la escritura literal, anatomia fonetica de la palabra), se ha tratado mas bien de la forma individual de los signos, que del espiritu de los metodos por medio de los cuales ha conseguido el entendimiento humano espresar cantidades con mayor o menor sencillez. Tan mezquino ha sido el punto de vista de mirar este objeto, como el que por largo tiempo reino en la comparacion de las lenguas, cuando mas bien se consideraba la frecuencia de ciertos sonidos y de ciertas terminaciones, o la forma de las raices, que la estructura organica de sus gramaticas. Llevo trabajando algunos annos con objeto de presentar en general los sistemas de cifras que usaron diferentes pueblos antiguos y modernos. El conocimiento de ciertas cifras de los Aztekas (Mejicanos) y de los Muyscas (habitantes de la llanura de Cundinamarca), que halle en mis viajes; el descubrimiento que hizo Tomas Young de la cifra egipcia, cuyos signos sabemos que no todos espresan por yuxtaposicion el multiplo de los grupos; la cifra gobar (de polvo) de los arabes, poco notada aun, descubierta por Silvestre de Sacy en un manuscrito de la Biblioteca de Paris; las comparaciones que tengo hechas entre estos ultimos signos de numeracion y las cifras mejicanas y chinas; la certidumbre que han dado de si las gramaticas publicadas en la India, de que las cifras y letras empleadas como signos de numeracion aquende y allende del Ganges no solo son de forma enteramente distinta, sino que tambien son totalmente distintos los sistemas de cifras mismos, tengan o no valor de posicion; el metodo indio, en fin, desconocido del todo, que se halla en un escolio del monje griego Neofitos, todo forma un conjunto de materiales que pueden dar alguna luz sobre nuestro sistema de numeracion llamado arabe. En una memoria que el anno de 1819 lei en la Academia de Inscripciones y Bellas Letras de Paris, me propuse demostrar como era que en pueblos que abreviaban el metodo de la simple yuxtaposicion, escribiendo (como los Mejicanos en sus ligaduras de 4 veces 13 o 52 annos, los Chinos, los Japones y los Tamoules) esponentes o indicadores encima de los signos de numeracion; estos mismos indicadores, suprimiendo los signos de grupos colocados en serie horizontal o vertical, hubieran podido originar el admirable sistema indio del valor de posicion. El uso antiguo de cuerdas o cordones para ayudar la memoria y para contar, debio favorecer a la propagacion de dicho sistema. Sueltos los cordones, como los quippos de los Tartaros, Chinos, Egipcios, Peruanos y Mejicanos, se mudaban en rosarios cristianos, piadosas maquinas de calcular; tendidos en marcos forman el suanpan de toda el Asia central, el abacus de los Romanos y de los Tuscios , y los instrumentos de la aritmetica palpable de las razas eslavas . Los sistemas de cordones o de alambres del simple suanpan asiatico, representan grupos mas o menos subidos de un sistema de numeracion, sean decenas, centenas y millares, sean grados, minutos y segundos de la division sexagesimal. El espiritu del metodo es uno mismo. Las perlas de cada cordon son los indicadores de los grupos; un cordon sin ninguna indica cero, y dicen sunya (sanscr.) sifr, o mejor sifron sihron (arabe, segun Meninski: prorsus vacuum). No puedo probar historicamente que el origen del valor de posicion dado por los Indios a las nueve cifras fue realmente el que acabo de indicar, pero creo haber abierto el camino para llegar a descubrirlo. Cuanto cabe esperar del estudio de la oscura historia del ensanche de las fuerzas del humano entendimiento, oscuridad que incita a aclararla, es llegar a columbrar probabilidades por el estilo. Para saber el uso de los quippos con objeto de contar los pecados en el confesonario, V. Acosta, Historia natural de las Indias, lib. 6, cap. 8; el Inca Garcilaso, lib. 6, cap. 9; Freret, Mem. de la Acad., tom. 6, pag. 609. Klaproth, Asiat. Mag., t. 2, s. 78. Otfried Muller, Elrusker, tom. 2, pag. 318. El rosario se llama en ruso tschotki; la tabla de calcular con cordones (el suanpan de los Tartaros), tschalii. En los Anales de Fisica y Quimica (tom. 12, pag. 93) se publico un breve estracto de la Memoria que lei en la Academia de Inscripciones. El manuscrito entero lo posee Champollion, proponiendose publicarlo junto con otros descubrimientos mucho mas importantes por el hechos en Turin, concernientes a los diferentes metodos de las cifras egipcias. De entonces aca he seguido completando de cuando en cuando mi primer trabajo; pero como no puedo esperar a tener descanso suficiente para publicarlo en toda su estension, tratare de esponer siquiera los principales resultados que arroja. En vista del nuevo cuanto acertado vuelo que ha tomado el estudio de las lenguas, en vista del creciente comercio con los pueblos del Asia meridional y occidental, quizas no danne discutir problemas que tan de cerca se rozan con la marcha que sigue el entendimiento humano y con los brillantes adelantamientos de las matematicas. Uno de los geometras mas insignes de nuestros tiempos y de todos los tiempos, el ilustre autor de la Mecanica celeste, decia : "De la India nos vino el ingenioso metodo de espresar todos los numeros con diez caracteres, dandoles a un tiempo valor absoluto y de posicion; pensamiento delicado e importante, tan sencillo hoy, que apenas percibimos su merito. Pero esta misma sencillez, y la facilidad suma que en cualesquier calculos proporciona, ponen a nuestro sistema de aritmetica en primera fila entre los inventos utiles; y todavia se apreciara mas y mas la dificultad de discurrirlo, considerando que no ocurrio a ingenios como los de Arquimedes y Apolonio, dos de los hombres mas grandes que honran a la antigüedad." Las observaciones siguientes demostraran en mi concepto que el metodo indio podia derivar sucesivamente de otros anteriores, y que estan hoy todavia en uso en el Asia oriental. La-Place, Espos. del sist. del mund., lib. 5, cap. 1. Con este juicio contrasta singularmente la opinion vertida por Delambre en su polemica sobre el merito de la antigua aritmetica india, tal cual aparece en la Lilawati de Bhascara Acharya. (Hist. de la Astron. ant., tom. 1. °, pag. 543.) No es verosimil que la lengua sola lleve a suprimir los signos de los grupos. La lengua, hablando en general, determina la escritura; y la escritura, bajo ciertas condiciones examinadas por Silvestre de Sacy y por mi hermano, reobra sobre la lengua; lo mismo que las maneras de contar, tan distintas en los diferentes pueblos, y los geroglificos numerativos, se influyen intima y mutuamente. Sin embargo, no siempre es consiguiente en todo rigor esta reciproca influencia; no siempre siguen los signos de numeracion los mismos grupos de unidades que la lengua; no siempre ofrece esta los mismos puntos de parada (los mismos intervalos quinarios) que aquellos. Pero reuniendo cuanto la lengua (nombres de numero) y la grafica numerica presentan en las zonas mas apartadas, cuanto ha discurrido la inteligencia humana sobre las relaciones cuantitativas, se hallan entonces en la escritura numerica de una raza las irregularidades, aisladas al parecer de la lengua de otra raza. Y debemos annadir, que cierta torpeza en las partes de la lengua y de la escritura tocantes a la numeracion no pasa de ser falaz medida de lo que pomposamente se llama estado de cultura de la humanidad. En este punto se ven en pueblos distintos, iguales complicaciones y contrastes que los que presentan en otros. Junto con variadisimos grados de cultura intelectual y de constituciones politicas, cuando tienen escritura literal, cuando solo signos ideograficos; ya riqueza abundante de formas gramaticales, de flexiones derivadas organicamente del sonido radical, ya lenguas casi faltas de flexiones, y de formas torpes, digamoslo asi, desde su infancia. Asi es que la accion reciproca del mundo interior y esterior (accion cuyas causas primeras determinantes subsisten ocultas en las tinieblas de un tiempo mitico) empuja al genero humano unico de naturaleza en direcciones a cual mas divergentes, y lo suele hacer por lo comun irresistiblemente, y se conserva esta divergencia aun cuando por efecto de grandes revoluciones cosmicas se aproximen geograficamente familias de lenguas a cual mas heterogeneas. Pero ciertas semejanzas, ciertas conexiones que a inmensas distancias se encuentran en las formas gramaticales, en los ensayos graficos para espresar numeros grandes, dan testimonio de la unidad del genero humano, de la preponderancia de cuanto nace de la inteligencia intima y de la comun organizacion de la humanidad. Viajeros que vieron que contando se juntaban cantos o semillas en montones de a 5 o 20, pretenden que muchas naciones no cuentan pasados 5 o 20. Asi pudiera pretenderse que los Europeos no cuentan pasados 10, porque 17 v. gr. consta de 10 y de 7 unidades. En naciones de las mas civilizadas del Occidente, en los Griegos y Romanos por ejemplo, recuerdan todavia las lenguas la costumbre de formar montones o grupos, y de aqui las espresiones psephizein, ponere calculum, calculum detrahere. Grupos de unidades presentan al contar puntos de parada; y pueblos muy distintos, en virtud de comun organizacion corporal (cuatro estremos, y cada uno dividido en cinco partes), se paran bien en una mano, bien en las dos, o bien en las manos y los pies. Segun esta diferencia de los puntos de parada, se forman grupos de 5, de 10 y de 20. Singular es que, tanto en los Mandingas de Africa como en los Vascos y como en las razas kimricas (galicas) del antiguo continente, se hallen grupos de 20. En la lengua chibcha de los Muyscas, 11, 12 y 13 se llaman: pie uno (quihieha ata), pie dos (quihieha bosa), pie tres (quihieha mica), compuestos de quihieha o qhieha (pie) y de las tres primeras unidades, ata, bozha o bosa y mica. El numerativo pie indica 10, porque se pasa al pie despues de haber recorrido contando ambas manos. Veinte de consiguiente en el sistema de lenguas a que pertenece la de los Muyscas se llama pie diez o casilla, (gueta), quizas porque contando se usaban granos de maiz en lugar de cantos, y un montoncito de maiz recordaba un granero. De la palabra casa, gueta o veinte (los dos pies y las dos manos), se forman luego 30, 40, 80, del modo siguiente: veinte mas diez, dos veces veinte, cuatro veces veinte, en un todo como las espresiones celticas que pasaron a las lenguas romanas, cuatro veinte, quince veinte, y las mas raras seis veinte, siete veinte, ocho veinte. En frances no se usan dos veinte y tres veinte, bien que en el dialecto galico o celtico de la Bretanna occidental, de ugent veinte se forman, daou-ugent, dos veinte o 40, tri-ugent, tres veinte o 60, y aun deh ha nao ugent, 190, o diez con nueve veintenas . Davies, Celtic Researches, 1804, p. 321; Legodinec, Gramatica celto-bretona, p. 55. En el dialecto celtico o kymrico del pais de Gales, 5 se nombra pump, 10 deg, 20 ugain, 30 deg ar ugain (10 y 20), 40 dengain, 60 trigain. (William Owen, Dict. of the Welsh language, vol. 1, p. 134.) Segun el mismo sistema de veintenas se dice en vascuence: bi 2, lau 4, amar 10, oguai 20, birroguai 40, lauroguai 80, berroguetamar 50, esto es 40 y (ata) diez. (Larramendi, Arte de la lengua vascongada, 1729, pag. 38.) Pudiera citar otros ejemplos notables de analogia de la lengua con la geroglifica numerativa; podria sacarlos de la yuxtaposicion, de la sustraccion de las unidades que se ponen graficamente delante del signo del grupo, de grados intermedios de 5 a 15, en pueblos que cuentan por grupos de 10 o de 20. En tribus americanas muy atrasadas todavia, como los Guaranis y los Lulos, 6, 7 y 8 se nombran cuatro con dos, cuatro con tres, y cinco con tres. Los Musas, algo mas civilizados, dicen veinte (o casa) con diez por 30, como los Kymros del pais de Gales dig (diez) or urgain (con veinte), y los Franceses sesenta y diez por 70. En todas partes, entre los Etruscos, Romanos y Mejicanos, como entre los Egipcios, se hallan adiciones por yuxtaposicion; las lenguas ofrecen tambien formas sustractivas o minorativas; entre los Indios se halla en el sanscrit, unavinsati 19, unusata 99; en los Romanos, unde viginti (unus de viginti) 19, unde octaginta 79, duo de quadraginta 38; en los griegos, cikosi deonta henos 19, y pentekonta düoin deontoin 48, o sea dos menos de cincuenta. Esta misma forma minorativa de la lengua paso a la grafica numerica, poniendo caracteres a izquierda de los signos de grupos 5, 10, y aun de sus multiplos, v. g.: 50 o 100 (IV y IL, XL y XT para designar 4 y 40 los Romanos y los Tuscios.) En ciertas inscripciones raras romanas, recojidas por Marini , se ven cuatro unidades delante del 10, como IIIIX, para designar 6. Luego veremos que hay razas indias que tienen metodos graficos en los cuales el valor de posicion, segun la posicion o direccion de los signos, indica adicion y multiplicacion, al paso que en los Tuscios y Romanos la posicion es aditiva o sustractiva. En los citados sistemas indios (usando cifras romanas), IIX indica veinte, y XII doce. Iscrizioni della villa di Albano, pag. 193; Herbas, Aritmetica delle nazioni, 1786, pag. 11--16. En muchas lenguas, los grupos normales 5, 10, 20 se llaman una mano, dos manos, mano y pie (los Guaranis dicen mbombiade). Recorridos contando los dedos de ambos estremos, se toma el hombre entero por simbolo de 20; v. g.: en la lengua de los Yarcnos, pueblo que vive a orillas del rio Apace, que desagua en el Orinoco, 40 se nombra dos hombres, noeni jemme, de noemi dos, y jemme hombre. En persa, pentscha significa el pundo, y pendj cinco, derivado de la voz sanscrit pantscha. Segun observa Bopp, de esta voz viene la latina quinque, como de tschatur (sanscrit) viene quatuor. El plural de tschatur es tschatvaras, que se acerca mucho a la forma dorico-eolia tettares; porque la ch india, pronunciada como en ingles tsch, se muda en t en las formas griegas, y asi tschatvaras se muda en tatvaras, y pantscha en penta (en griego pente, dialecto eolio): pempe, de donde pempezein, contar por cinco o por los dedos. En latin corresponde la q al tsch indio, y asi tschatur y pantscha se mudan en quatuor y quinque. La palabra pantscha, ni aun en sanscrit significa nunca mano, sino tan solo el numero 5. Sin embargo, pantschasatcha es una espresion descriptiva que designa la mano como miembro de cinco ramas. Asi como la palabra (con singular sencillez en las lenguas de la America meridional) designa como puntos de parada los grupos 5, 10, 20, lo mismo advertimos iguales grupos en la geroglifica numerativa. Los Romanos y los Tuscios tienen cifras simples para designar 5, 50, 500. Se ha conservado el sistema quinario junto con el denario. En la lengua (mejicana) de los Aztekas, se hallan no solo signos de grupos, v. g., para designar 20 una bandera, el cuadrado de 20 o 400 una pluma llena de granos de oro (servia de moneda en algunas provincias mejicanas), el cubo de 20 u 8000, un costal (xiquipilli) con 8000 granos de cacao dentro (tambien servia para los cambios), sino tambien (porque la bandera esta dividida en cuatro cuarteles, y dada de color la mitad o las tres cuartas partes) cifra para designar la mitad de 20 o 10, los 3/4 de 20 o 15, o como si dijeramos dos manos y un pie. Pero en ninguna parte se presenta prueba tan notable de la reciproca influencia entre escritura y lengua como en la India. En sanscrit, el valor de posicion de las unidades entra hasta en la lengua: esto es, los Indios tienen cierto metodo figurativo de espresar numeros con objetos de los cuales se conoce un numero determinado. Surga (sol), v. g., significa 12, porque en los mitos indios se suponen doce soles que siguen el orden de los meses. Los dos Aswinas (Castor y Polux), que se hallan tambien entre los naktschatras y mansiones lunares, espresan 2; manu significa 14. Para espresar 1214, dicen surgmanu, compuesto de los simbolos de 12 y 14. Probablemente manusurga signifique 1412, y aswinimanu 214. La numeracion del sanscrit es tan perfecta, que tiene una voz sola para diez millones, koti, lo mismo que la lengua qquschna (peruana), que no cuenta por grupos de 20, tiene una voz sola (hunu) para espresar un millon. Si, como dice Ovidio, no contamos por decenas quia tot digiti, per quos numerare solemus, tuviese el hombre los estremos con seis divisiones, hubiera discurrido una escala duodenaria, grupos de 12 que presentan la gran ventaja de divisiones sin fracciones por 2, 3, 4 y 6, como los usan los Chinos desde los tiempos mas remotos para medir y pesar. De estas reflexiones acerca de la relacion existente entre la lengua y la escritura, entre los numerativos y los signos numericos, pasemos a hablar de estos ultimos. Repito que no hablare tanto de la formacion heterogenea de tal o cual elemento (cifra), como del espiritu de los metodos empleados por las diferentes naciones para espresar cantidades numericas: hablare solo de la figura y forma de las cifras en cuanto puedan influir en raciocinios tocantes a la identidad o heterogeneidad de los metodos. Porque los modos de proceder para espresar multiplos puros o mistos de grupos denarios fundamentales (v. gr., 4n, 4n 2 o 4n+7, 4n 2+6n, 4n 2+6n+5) son diversisimos; y los vemos usados, ya por ordenacion (valor de posicion) por varios pueblos indios, ya por simple yuxtaposicion, como en los Tuscios, Romanos, Mejicanos y Egipcios; ya por coeficientes puestos al lado en los habitantes del Mediodia de la peninsula India que hablan la lengua tamoul; ya por ciertos esponentes o indicadores puestos encima de los signos de grupos en los Chinos, Japones y Griegos; ya al reves por cierto numero de ceros o de puntos sobrepuestos a nueve cifras para indicar el valor relativo o de posicion de cada cifra, siendo, por decirlo asi, signos de grupos puestos encima de las unidades, como en la cifra gobar de los Arabes y en el sistema de cifras indias, esplicado por el monje Neofitos. Los cinco metodos que se acaban de citar son totalmente independientes de la figura de las cifras; y a fin de que resalte bien esta independencia, no usare otros signos sino los empleados comunmente en aritmetica y algebra, y asi se fijara mejor la atencion en lo esencial, que es el espiritu del metodo. Con motivo de otro asunto bien distinto del presente, relativo a la serie regular y por lo comun periodica de las curvas geognosticas (adiciones al Ensayo geognostico sobre el lugar de las rocas), trate de probar que las notaciones pasigraficas pueden contribuir a generalizar las ideas. Se acostumbra distinguir en los metodos graficos de los pueblos: 1. ° Signos independientes de las letras del alfabeto. 2. ° Letras, que por cierta colocacion, por ciertas rayas o puntos annadidos, o como iniciales de los numerativos , indican el valor numerico. No cabe duda de que las razas helenicas, asi como las semiticas o aramaicas (entre estas los mismos Arabes hasta el siglo V despues de la hegira, antes de recibir las cifras de los Persas), en los tiempos de su mayor cultura se servian de unos mismos signos como letras y como cifras. En el nuevo continente hallamos dos naciones lo menos, los Aztekas y los Muyscas, que tenian cifras sin poseer una escritura literal. Los geroglificos usados por los Egipcios para las unidades, decenas, centenas y millares no dependen tampoco al parecer de los foneticos. La cifra pehlwi de la Persia antigua en las nueve unidades primeras, es independiente del alfabeto, lo mismo que sucedia entre los Tuscios, los Griegos de los tiempos mas antiguos y los Romanos. Anquetil advirtio ya que el alfabeto zend, cuyos 48 elementos hubieran podido facilitar la espresion de los numeros, no se ve usado como cifra, y que en los libros zends estan espresados los numeros con la cifra pehlwi y con las voces zends. Si trabajos posteriores confirmasen esta falta de una cifra zend, vendrian en apoyo de la opinion de que atendida la afinidad intima de las lenguas zend y sanscrit, debio separarse el pueblo Zend de los Indios cuando todavia ignoraban estos el valor de posicion de las cifras. En el pelhwi, de 9 en adelante, constan de letras los signos de grupos 10, 100 y 1.000. Dal es 10, re junto con za 100, re junto con ghain 1.000. Considerando cuan poco sabemos del conjunto de cifras que el genero humano usa, inferimos que la division de las mismas en cifras literales y cifras propiamente tales, es tan incierta y esteril como la de las lenguas en monosilabas y polisilabas, abandonada mucho ha por los verdaderos filologos. ?Quien es capaz de decidir con acierto si la cifra tamoul de las Indias meridionales, que no admite valor de posicion, escepto el signo de 2, difiere enteramente del empleado en los manuscritos sanscrits, a no derivar tal cifra del alfabeto tamoul mismo, puesto que parece verse en este, sino el signo de grupo de 100, cuando menos el de 10 (la letra ya) y la cifra 2 (la letra u)? La cifra telougon , admitiendo el valor de posicion que tambien se usa en la parte meridional de la peninsula, difiere singularmente en los signos de 1, 8 y 9 de todas las cifras indias que hasta el dia conocemos, al paso que concuerda en los de 2, 3, 4 y 6. Sin duda se esperimento primero la necesidad de espresar graficamente numeros, y asi es que los signos numericos forman parte de todos los mas antiguos graficos. Los instrumentos de aritmetica palpable que Leslie en su ingeniosa obra The Philosophy of Aritmethic., 1817, presenta enfrente de la figurativa o grafica, son: las dos manos del hombre, montoncitos de cantos (calculi, psephoi), semillas, cuerdas separadas y con nudos (cuerdas para calcular, quippos de los tartaros y del Peru), los suanpan en marcos y tablas de abacus, maquina de calcular de los pueblos eslavos con bolas o granos en fila. Todos estos instrumentos manifestaban las maneras primitivas de designar graficamente grupos de ordenes distintos. Una mano, una cuerda con nudos o bolas corredizas designan las unidades hasta 5, o hasta 10 o hasta 20. La otra mano indica cuantas veces al contar se ha pasado por encima de los cinco dedos de la primera (pampehesthei); cada dedo de la segunda, o sea cada unidad, espresara por tanto un grupo de 5. Lo mismo sucede con dos cuerdas de nudos que con dos manos; y pasando a los grupos de 2. °, 3.° y 4.° orden, igual relacion de grupos superiores e inferiores se verifica en las cuerdas de calcular tirantes en marcos y con bolas, el suanpan del Asia antigua, que bien pronto paso en forma de abax o de tabula logistica a los pueblos occidentales (acaso lo llevaron egipcios en tiempos de la confederacion pitagorica). Los koua's, que son mas antiguos que la actual escritura china, y aun las lineas paralelas nudosas, parecidas a la pauta musica interrumpida de los libros magicos (raml) del Asia interior y de Mejico, no parecen ser mas que proyecciones graficas de las mismas cuerdas de calcular y mnemonicas . En el suanpan asiatico o en el abacus (que usaban los Romanos mas que los Griegos , quienes progresaron mas en la grafica numerica), al lado de las series denarias que estaban en progresion geometrica, se conservaban tambien series quinarias. Junto a cada cuerda de los grupos u ordenes n, n 2, n 3, habia otra mas chica, que designaba cinco de las bolas de la grande con una sola . Los chinos parece que desde los tiempos mas remotos consideraron arbitrariamente una cuerda cualquiera de la serie de las paralelas como la cuerda de las unidades, de suerte que bajando y subiendo obtenian fracciones decimales, numeros enteros y potencias de 10. !Cuanto tardaron en conocerse en el Occidente las fracciones decimales (a principios del siglo XVI), cuando mucho tiempo hacia que conocian alli la aritmetica palpable del Oriente! Los Griegos no pasaban en la escala ascendente mas alla de la unidad sino en el sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos; y como no tenian n-1, o sean 59 signos, observaban solo el valor de posicion por filas de a dos numeros. La cifra diwani de los Arabes, compuesta unicamente de monogramas o abreviaturas de numerativos, presenta el ejemplo mas complicado de semejante escritura de iniciales. De dudar es que las C y las M de los Tuscios y Romanos fueron iniciales tomadas de las lenguas tuscia y romana. (Leslie, Philos. of Arith., p. 7-9,211; Debrosses, t. 1. p. 436; Hervas, p. 32-35; Otfried Muller, Etrusker, p. 304-318.) La cruz griega rectangular, en todo parecida al signo chino de 10, en las inscriciones mas antiguas designa mil (Boerk, Corp. inscript. groec., vol. 1, p. 23), y es solo la forma mas antigua del chi. (Nuev. trat. de diplom., por dos monjes de San Mauro, vol. 1, p. 678.) Campbell, Grammar of the teloogoo language, Madras, 1816, p. 4, 208. El telougon es el idioma que por error se llamaba gentoo, y los indigenas lo llaman trilinga o telenga. En el Oriente llaman raml, arte de la arena, al arte nigromantico. Lineas seguidas o cortadas y puntos sirven de elementos para guiar al adivino. (Richardson and Wilkins, dictionn. Persian and Arabic, 1806, t. 1, p. 482.) El notable manuscrito, real y verdaderamente mejicano, lleno de unas como notas de musica, y que se conserva en Dresde, fue tenido a primera vista por un raml oriental por un persa ilustrado que me visito. Despues he descubierto kouas efectivamente mejicanos y dibujos lineales en forma de notas de musica, muy parecidos al citado, en varios manuscritos geroglificos de origen azteka, y en las esculturas de Palenque, estado de Guatemala. En la cifra china de estilo antiguo, el signo de grupo 10, una perla en una cuerda, esta tomado evidentemente del quippu (a modo de proyeccion). Nicomaque en Ast., theologumena arithm., 1817, p. 96. En los negocios economicos de la edad media, la tabla de calcular (el contador) (abax) se troco en exchequer. Lo mismo que en el abacus romano. En el chino usaban 5 y 2 bolas, y separaban las que no se contaban. Acerca de los primeros ensayos de notacion decimal hechos por Miguel Stifelius de Eslingen, Slerin de Brujas y Bombelli de Bolonia, v. Leslie, Phil. of arithm., p. 134. Examinando el origen de los numeros, vemos que mediante pilas de cantos o de las cuerdas de las tablas de contar llenas de bolas, se escribian y leian transitoriamente numeros con bastante regularidad. Las impresiones que dejaban tales operaciones influirian sin duda en los primeros rudimentos de la grafica numerativa. En los geroglificos historicos rituales y nigromanticos de los Mejicanos, las unidades hasta 19 (el primer signo simple de grupo es 20) estan unas junto a otras en forma de granos gruesos coloreados; y lo singularisimo es que el calculo va de derecha a izquierda, como la escritura semitica. Se nota perfectamente este orden en 12, 15 y 17, donde la serie primera contiene 10, y la segunda no esta completa del todo. En los monumentos helenicos mas antiguos, en las inscripciones sepulcrales Tuscias entre los Romanos y los Egipcios (lo tienen probado Thomas Jourg, Jomard y Champollion) estan designadas las unidades con lineas perpendiculares. Entre los chinos y en algunas monedas verdaderamente fenicias descritas por Eckel (t. 3, p. 410), estan horizontales las mismas lineas hasta 4. Los Romanos (despreciando el signo de grupo quinario) solian juntar en las inscripciones hasta 8 lineas como unidades: de ello presenta muchos ejemplos Marini en su notable escrito Monumenti dei fratelli Arvali. Las cabezas de clavos que servian para arreglar el anno romano antiguo (Annales antea in clavis fuerunt, quos ex lege vetusta figebat Proetor maximus; Plin., VII, 40) pudieran haber dado los puntos de unidades que se hallan entre los Mejicanos; y con efecto, se ven (al lado de las lineas horizontales chinas y fenicias) en las subdivisiones de las onzas y de los pies. Los puntos y rayas, 9 o 19 en la escala denaria o vicesimal (escala de las manos o de las manos y pies) del antiguo y del nuevo continente, son la notacion mas grosera del sistema de yuxtaposicion. Se cuentan las unidades mas bien que se leen. La existencia independiente, la individualidad, digamoslo asi, de ciertos grupos de unidades como notaciones, no empieza hasta los numerativos alfabeticos de las razas semiticas y helenicas, o hasta los Tibetanos y los pueblos indios que espresan 1, 2, 3 y 4 con signos particulares e ideograficos. En el pehlwi de la Persia antigua se presenta una transicion singular de la yuxtaposicion grosera de signos de unidades, a la existencia aislada de geroglificos compuestos e ideograficos. Aparece claro el origen de las primeras nueve cifras en el numero de incisiones o dientes; 5 hasta 10 son solo enlaces de los signos 2, 3, 4, sin que vuelva a parecer el signo 1. En los sistemas realmente indios de las cifras devanagari, persa y arabe-europeo, no se ven al parecer contracciones de 2 y 3 unidades, sino en 2 y 3, y de seguro no en cifras mayores que en la peninsula india difieren entre si con toda regularidad. Hablando de los numeros indios, debo decir mi sentir sobre esta denominacion, y sobre las antiguas preocupaciones de creer que la India posee cifras de forma unica, con esclusion de los numerativos alfabeticos, que en toda la India se halla conocimiento del valor de posicion y no del uso de signos de grupos particulares para n, n 2, n 3..... Lo mismo que, cual dice mi hermano, se designa sin razon el sanscrit con los nombres de lengua india, lengua india antigua, puesto que en la peninsula india hay lenguas antiquisimas y que en nada derivan del sanscrit, es en general muy vaga la espresion cifra india, cifra india antigua, tanto respecto de la forma de las cifras como de la indole de los metodos, empleandose ya la yuxtaposicion, ya coeficientes, ya el simple valor de posicion de los grupos principales n, n 2, n 3, y de los multiplos 2n, 3n..... Ni siquiera es condicion necesaria del valor de posicion la existencia de un signo de cero en las cifras indias, como lo prueba el escolio de Neofitos. Las lenguas mas comunes en la parte meridional de la peninsula son el tamoul y el telougon. Los indios que hablan tamoul tienen cifras distintas de su alfabeto, y entre ellas 2 y 8 se parecen algo a las indias (devanagari) 2 y 5. Las cifras cingalais difieren todavia mas de las indias. Ni unas ni otras tienen valor de posicion, ni signo de cero; los grupos n, n 2, n 3..... estan representados con geroglificos particulares. Los cingalais cuentan por yuxtaposicion, los tamouls con coeficientes. En el imperio Burman, mas alla del Ganges, se hallan valor de posicion y signo de 0, pero figuras de cifras enteramente distintas de las arabes, persas y devanagari-indias. Todas las nueve cifras persas usadas por los arabes difieren completamente de las de devanagari, 7 es una especie de f romana, 8 de tuscia. De las que hoy llamamos cifras arabes, solo 1, 2 y 3 se parecen a las devanagari correspondientes; el devanagari 4 es nuestro 8, nuestro 9 es un 7 devanagari, nuestro 7 es un 6 persa. En Bengali el 5 tiene figura de media luna, y 3, 5, 6, 8 y 9 difieren de las cifras devanagari. Las cifras de Guzerath no son mas que devanagari-indias mal formadas. Reflexiones sobre la influencia de las cifras primitivas en el alfabeto, sobre desfiguraciones de letras de intento hechas a fin de distinguir las letras de las cifras, sobre las diferentes colocaciones de las letras numerativas, que no siempre corresponden en un mismo pueblo al orden usual del alfabeto (como sucede en el aboudjed de los pueblos semiticos de Asia y Africa), son agenas de este escrito, aunque dieron margen a bastantes hipotesis vagas en el campo de los alfabetos y de los geroglificos comparados. Yo mismo anuncie tiempo ha la conjetura de que las cifras indias no obstante las formas de 2 y 3, eran letras de un alfabeto antiguo, del cual se veian restos en los caracteres fenicios, samaritanos, palmiros y egipcios (en las momias), y aun los monumentos persas antiguos de Nakschi-Rustan. ?Cuantas letras de estos alfabetos no se parecen a las cifras llamadas esclusivamente indias? Otros sabios han dicho que estas mismas cifras apellidadas indias venian de los fenicios; y el ingenioso Echkel advirtio que las letras fenicias se parecen tanto a cifras, como que se designa la voz abdera con 19.990 o 15.550. Pero tan oscuro esta semejante origen de las cifras y letras, que con los materiales hoy disponibles, no caben investigaciones filosoficas formales, como no sean las que den resultados negativos. Unos mismos pueblos suelen contar a un tiempo con letras numerativas y con signos de numeros ideograficos o arbitrariamente escojidos; tambien suelen hallarse en un mismo sistema numerico metodos muy distintos de espresar los multiplos del grupo fundamental. Lo que en un sistema apenas se apunta, se ve desenvuelto completamente en otro; como ciertas formas gramaticales, que solo se columbran en un pueblo, se ven estendidas en otro con predileccion, y con toda la eficacia de sus fuerzas intelectuales. Al describir uno por uno los sistemas numericos empleados por cada pueblo, se oscurecen las semejanzas de los metodos, se pierde el rastro del camino por donde llego el entendimiento humano a la obra maestra de la aritmetica india, en la cual cada signo tiene su valor absoluto y su valor relativo, creciendo de derecha a izquierda en progresion geometrica. En adelante me apartare del orden etnografico, cinnendome a examinar los diferentes medios empleados para espresar graficamente unos mismos grupos de unidades (grupos mistos o simples). Primer metodo.--Yuxtaposicion. Simplemente aditiva de las letras numerativas y las cifras verdaderas. Asi se ve en los Tuscios, Romanos, Griegos hasta la myriada, las razas semiticas, los Mejicanos y la mayor parte de las cifras pehlwi. Este metodo es incomodisimo para calcular cuando los multiplos de los grupos (2n, 3n, 2n 2......) no tienen signos particulares. Los Tuscios y Romanos repiten los signos 10 hasta 50. Los Mejicanos, cuyo primer signo de grupo es 20 (una bandera), repiten un mismo geroglifico hasta 400. Los Griegos por el contrario tienen en las dos series de las decenas y centenas, principiando respectivamente con iota y rho, signos para 20, 30, 400 y 600. Tres episemas (letras de un alfabeto antiguo), bau, koppa y sampi, espresan 6, 90 y 900, terminando las dos ultimas las series de las decenas y centenas, cuya circunstancia da mayor semejanza al valor numerico de las letras griegas con el del aboujed semitico. Bockh en sus ilustrados trabajos sobre el digamma demuestra que bau es el wau de los semitas (de los latinos); koppa era el koph semitico, y sampi el schin semitico. La serie de las unidades desde alpha hasta heta son en los griegos los numeros fundamentales (puthmenes), con los cuales, mediante artificios descubiertos por Apolonio, calculaban de tal modo, que en ultimo resultado los reducian a los numeros correspondientes de las series segunda y tercera (de las analogas). Segundo metodo.--Multiplicacion o disminucion del valor con signos puestos encima o debajo. Los puthmenes de la cuarta serie de la notacion griega, volvian a presentarse por analogia, multiplicandolos por 1.000 mediante una rayita debajo de la letra. Asi llegaban al millar, escribiendo hasta 9999. Aplicando esta notacion de acentos a todos los grupos, suprimiendo todos los signos despues de la theta (9), hubieran tenido espresiones para 20, 200 y 2.000, poniendo a una b dos o tres acentos; asi se hubieran acercado a la cifra arabe gobar, y luego al valor de posicion; pero por desgracia saltaban los grupos de las decenas y centenas, y no empezaban la notacion con acentos hasta 1.000, y ni siquiera les ocurrio ensayarla en los grupos superiores. Asi como una rayita puesta debajo multiplicaba el numero por 1.000, una raya vertical encima designaba entre los Griegos una fraccion con la unidad por numerador y con el numero de debajo del cuento por denominador. En Diofanto, g' es 1/3 , d'=1/4; pero si el numerador es mayor que la unidad, se designa con el numero inferior, y entonces el denominador de la fraccion se le annade a manera de esponente, de suerte que v. g. gd = 3/4 . En las inscripciones romanas, una raya horizontal superior multiplica el numero por 1.000, lo cual se puede mirar como abreviatura para ahorrar espacio. Detambre, tom. 2, pag. 11. El acento annadido encima de las letras, unicamente para indicar que se usan como numeros, no se debe confundir con el signo de fraccion. En varios manuscritos matematicos antiguos no esta propiamente perpendicular, sino horizontal, de forma que nunca se pueda confundir con el signo de fraccion. El metodo de Eutocio para espresar myriadas es mas importante. Vemos aqui el primer rastro griego del sistema esponencial, o mejor de indicacion, tan interesante en el oriente. Ma, Mb, Mg designan 10.000, 20.000, 30.000. Esta aplicacion esclusiva a las myriadas, se estiende entre los Chinos y Japones, que recibian su cultura de los Chinos 200 annos antes de nuestra era, a todos los multiplos de los grupos. Tres rayas horizontales debajo del signo 10 indican 13, tres encima 30. Siguiendo este metodo escribian el numero 3.456 asi, usando las cifras romanas como signos de grupos, y las indias como esponentes. M3 C4 X5 I6 Iguales indices se ven en los egipcios. Encima de una raya encorvada que significa 1.000, ponian 2 o 4 unidades para espresar 2.000 y 4.000. En los Aztekas o Mejicanos he hallado el signo de la ligazon con seis unidades por esponente, para espresar 312 annos (6x52=312). En los Chinos, Aztekas y Egipcios el signo de grupo es siempre el inferior, como si se escribiese X5 por 50; en la cifra arabe gobar, el signo de grupo esta encima del indicador. No olvidemos que en el gobar los signos de grupos son puntos, y de consiguiente ceros; porque en la India, el Tibet y la Persia, ceros y puntos son identicos. Los signos gobar los descubrio mi amigo y maestro Silvestre de Sacy en un manuscrito de la antigua abadia de Saint-Germain-des-Pres. Este insigne orientalista dice: "El gobar tiene mucha conexion con la cifra india, pero carece de cero;" creo sin embargo que tiene signo para cero, pero como en el escolio de Neofitos, puesto encima y no al lado de las unidades: son cabalmente los mismos ceros o puntos que han hecho dar a estos caracteres el singular nombre de gobar o escritura de polvo. A primera vista se duda si debe verse en esto un paso de las letras a las cifras. Con trabajo se distinguen los 3, 4, 5 y 9 indios. Dal y ha sean tal vez cifras indias 6 y 2 mal colocadas. La indicacion con puntos es la siguiente: 3 para 30, 4 para 400, 6 para 6.000. Estos puntos recuerdan una notacion griega antigua, pero rara, que solo empieza en las myriadas: a para 10.000, b para 200 millones. En este sistema de progresiones geometricas hay primeramente un punto, que sin embargo no se usa, para indicar 100. En Diofanto y Pappus vemos un punto entre las letras numerativas para reemplazar a la inicial Mu (myriada). En tal caso un punto multiplica por 10.000 lo que esta a la izquierda. Parece que ciertas ideas oscuras sobre notaciones por medio de puntos o ceros, venidas del Oriente, se esparcieron por Alejandrinos en Europa. El verdadero signo de cero para indicar alguna cosa que falta, lo emplea Tolomeo en la escala sexagesimal descendente, para espresar grados, minutos o segundos que faltan. Delambre pretende haber hallado tambien el signo de cero en manuscritos del comentario de Theon a la sintaxis de Tolomeo . El uso de este signo en Occidente es por tanto anterior con mucho a la invasion de los Arabes. Vease el escrito de Planude sobre los Arithmoi Indikoi. Hist. de la Astron. ant., t. 1, p. 547; t. 2, p. 10. No esta el pasage de Theon en sus obras impresas. Delambre se inclina unas veces a esplicar el signo griego de cero haciendolo abreviatura de ouden, y otras a derivarlo de cierta relacion particular del numerativo omicron con las fracciones sexagesimales. (Obra citada, t. 2, p. 14; Diario de los sabios, 1817, p. 539.) Es singular que en la antigua aritmetica india de la Lilawati, cero situado junto a un numero indica que se debe restar este. (Delambre, t. 1, p. 540.) ?Que designa el ling (un verdadero cero) escrito en las cifras chinas debajo de 12, 13, 22 y 132? En las inscripciones romanas los ceros son obolos repetidos varias veces. (Rockh, Economia nacional de los Atenienses, B. 2, p. 379.) Tercer metodo.--Multiplicacion del valor por coeficientes. Lo que en los Chinos hemos visto ser indicadores en la escritura perpendicular, la diferencia entre [Formel] y [Formel] , se halla repetido en direccion horizontal en los Griegos, Armenios y habitantes que hablan tamoul en la parte meridional de la peninsula India. Diofanto y Pappus escriben bmu para dos veces 10.000 o 20.000, al paso que amub (cuando b esta a la derecha de la inicial de la myriada) significa una vez 10.000 mas 2 o 10.002. Lo mismo sucede en las cifras tamoul, como si se dijera 4X=40 y X4=14. En el pehlwi de la Persia antigua, segun Anquetil, y en el armenio, segun Cerbied, se reconocen multiplicadores puestos a la izquierda para espresar los multiplos de 100. Tambien debe referirse a este metodo el punto de Diofanto, arriba mencionado, que reemplaza a Mu, y multiplica por 1.000 a lo que precede. Cuarto metodo.--Multiplicacion y disminucion ascendentes y descendentes por division en ringleras de numeros cuyo valor disminuye en progresion geometrica. Arquimedes en las octades y Apolonio en las tetrades emplearon solo esta notacion para numeros que pasasen de (10.000)2, para los 100 millones o myriadas de myriadas. Vese aqui evidentemente valor de posicion de unos mismos signos, siguiendose en ringleras diferentes; hay por tanto valor absoluto y relativo, como en la escala sexagesimal descendente de los astronomos alejandrinos para indicar los grados, minutos y segundos. Mas puesto que en este caso, por falta de n--1 o 59 signos, consta cada ringlera de 2 cifras, no puede ofrecer el valor de posicion la ventaja que los numeros indios. Cuando se consideran como enteros las trescientas sesenta avas partes de la circunferencia, los minutos son sesenta avas partes de tal entero, los segundos lo mismo de los minutos, etc.: como fracciones les puso Tolomeo el signo de fraccion, el acento encima, y para indicar la progresion descendente, en la cual cada ringlera de 2 cifras es 60 veces menor que la precedente, se multiplicaron los acentos de ringlera en ringlera. Asi es que los minutos llevaron el simple acento de las fracciones griegas comunes (con la unidad por numerador), los segundos dos acentos, los terceros tres, los grados mismos, como enteros, ningun acento, quizas como nada (ouden) un cero . Digo quizas, porque en Tolomeo y Theon, los ceros, como signos de grados, faltan todavia. Respecto del empleo del signo cero, V. Leslie, p. 12-135; Ruithen, Germanen und Griechen Hist., II, p. 2-23; Ducange, Glossar. medioe groecitatis, t. 2, p. 572; Maumart, de numerorum quos arabicicos vocant origine; Pythagor., p. 17. En la aritmetica griega, M° designa una unidad, monas, asi como una delta con un cero (propiamente omicron) encima, significa tetartos (Bast., Gregor., Cor., p. 851.) En Diofanto, M°xa es 21. El signo gramatical indio auuswara tiene figura de un cero indio (sunga), aunque solo indica modificacion de la pronunciacion de la vocal que este al lado, y nada tiene que ver con el sunga. La simple enumeracion de los diferentes metodos empleados para espresar los multiplos de los grupos fundamentales por pueblos que ignoraban la aritmetica india, esplica a mi ver el sucesivo desenvolvimiento del sistema indio. Escribiendo 3568 perpendicular y horizontalmente mediante indicadores [Formel] , se ve que se pueden escusar los signos de los grupos M, C..... Y cabalmente nuestras cifras indias no son mas que los multiplicadores de los diferentes grupos. Esa misma notacion valiendose de solo unidades (multiplicadores), la recuerdan los cordones sucesivos del suanpan, representantes de millares, centenas, decenas y unidades. En el ejemplo citado manifestaban los cordones 3, 5, 6 y 8 bolas. No se ven signos de grupo. Los signos de grupos son las posiciones mismas, y estas (cordones) estan satisfechas por las unidades (multiplicadores). Por ambos caminos de la aritmetica figurativa y palpable se llega, pues, a la posicion india. Si esta vacio o hueco el cordon, bien subsista libre el puesto escribiendo, bien falte un grupo (un termino de la progresion), llena aquel vacio graficamente el geroglifico del vacio, un circulo vacio, sunga, sifron, zuphra . En ingles se ha conservado cypher para indicar cero, al paso que en las lenguas occidentales que dicen cero (sifron, seron), indica cifra un numerativo en general solo. En sanscrit se llama sambhara el numero o la cantidad. Que la notacion numerativa se fue perfeccionando en la India solo a pasos sucesivos, lo confirma la cifra tamoul, que mediante 9 signos de unidades y de signos de grupos para 10, 100 y 1.000, espresa todos los valores valiendose de multiplicadores annadidos a izquierda; y asimismo lo confirman las singulares arithmoi indikoi del escolio del monje Neofitos, que se conserva en la biblioteca de Paris. (Cod. reg., fol 15.) Las 9 cifras de Neofitos, fuera del 4, son lo mismo que las persas. Las cifras 1, 2, 3 y 9 se ven tambien en inscripciones numericas egipcias. Las 9 unidades estan multiplicadas por 10, 100 y 1.000, poniendo encima uno, dos o tres ceros, asi v. gr.: , [Formel] , [Formel] , [Formel] . Poniendo puntos en vez de ceros, resulta la cifra arabe gobar. Recapitulando lo dicho sobre los muchisimos metodos de notacion de los pueblos de ambos continentes, harto poco conocidos, vemos: 1. ° Pocos signos de grupos y casi esclusivos de n 2, n 3, n 4...., no de 2n, 3n...., ni de 2n 2, 3n 2...., como tenian los Romanos y los Tuscios, X, C, M. (Todos los grados intermedios, 2n o 2n 2, v. g., estan espresados por yuxtaposicion XX, CCC.) 2. ° Muchos signos de grupos, no solo de n, n 2 (iota y rho de las letras numerativas griegas), sino tambien de 3n o de 4n 2 (l y u), lo cual ocasiona suma heterogeneidad de los elementos de espresion de 2+2n+2n 2 (v. g.: spb de 222). 3. ° Espresion de los multiplos del grupo fundamental de sus potencias (2n, 3n, 4n 2, 5n 2), bien poniendo (debajo o encima) indicadores a los signos de grupos (chinos, [Formel] , [Formel] , [Formel] , [Formel] ; indio-tamoul, 2X, 3X, 4C, 5C), bien puntuando o acentuando gradualmente los 9 signos primeros de unidades, como [Formel] =10, [Formel] =20, [Formel] =100, [Formel] =1.000, [Formel] =40.000; en gobar, en el escolio de Neofitos y en la escala sexagesimal descendente de los astronomos alejandrinos, para [Formel] , [Formel] , [Formel] , escribiendo, v. g. 1.° 37.' 37." 37. '''..... Hemos visto, en fin, que los indicadores (multiplicadores) de los pueblos del Asia oriental, de los habitantes de la parte meridional de la peninsula india; que la acentuacion de los puthmenes del sistema gobar o del escolio de Neofitos, que los cordones del suanpan, podian dar el valor de posicion. Que el sencillo sistema de posicion indio fuese introducido en Occidente a consecuencia de la estancia del sabio astronomo Rihan Mahommed ebn Abmet Albiruni en la India, como opina Sedillot, o por traficantes moriscos de la costa septentrional de Africa, y de resultas del comercio que se abria entre estos y los Italianos, es lo que esta por decidir. No obstante la antigüedad de la cultura india, tampoco se sabe si el sistema de posicion, que tanto influyo en las matematicas, era conocido ya en tiempo de la espedicion macedonia mas alla de la India. !Cuanto mas perfectas hubieran legado las ciencias matematicas a la ilustrada epoca de los Haquemitas un Arquimedes, un Apolonio de Perges y un Diofanto, si hubiese recibido el Occidente doce o trece siglos antes, con la espedicion de Alejandro, la aritmetica india de posicion! Pero la parte de la India anterior que atravesaron los Griegos, el Pendjab hasta Palibothra, estaba habitada por pueblos poco cultos; barbaros los llamaban los que vivian mas al Oriente. Solo Seleucus Nicator traspaso el limite que separaba la civilizacion de la barbarie, desde el rio Sarasvatis hasta el Ganges. De la antigua cifra india tamoul, que espresa 2n, 3n 2...., con multiplicadores adjuntos, y que de consiguiente tiene, ademas de signos de las nueve unidades primeras, otros particulares de n, n 2, n 3...., se infiere que en la India, al par del sistema de valor de posicion llamado casi esclusivamente indio (o arabe), habia tambien otros sistemas de cifras sin valor de posicion. Acaso Alejandro ni sus sucesores bactrios, al penetrar temporalmente en la India, no se ponian en contacto con naciones que esclusivamente usaran el metodo de posicion. Ojala se prosigan con celo los trabajos, ya por filologos que tengan ocasion de examinar manuscritos griegos, persas y arabes , ya por viajeros que se detengan en la peninsula India misma. Nada puede dar tantas observaciones notables como la foliacion de antiquisimos volumenes manuscritos de la literatura sanscrita. ?Quien sospechara v. gr. que los Indios tuvieran, junto con una aritmetica decimal de posicion, un sistema sedecimal sin posicion; que ciertos pueblos indios contaran de preferencia por grupos de 16, como los pueblos americanos, los Kymros y los Bascos por grupos de 20? Esta singular numeracion se descubrio hace annos en un manuscrito del antiguo poema indio Mahabharata. (Cod. reg., Paris, p. 178.) Sesenta y cinco paginas de este manuscrito estan foliadas con letras numerativas indias, pero usandose solo las consonantes del alfabeto sanscrit (k por 1, kh por 2.....), lo cual esta en contradiccion con la idea muy en boga, de que en la India se encuentran empleadas esclusivamente cifras y no letras por cifras, como lo hacian los pueblos semiticos y los griegos. En la pagina 60 comienza la singular notacion sedecimal. En los primeros 15 puthmenes apenas se reconocen dos signos que sean letras sanscritas; t aspirada y d, y parece corresponden respectivamente a 3 y 12; tampoco se encuentran mucho los signos propiamente llamados indios (arabes). Es de notar que la cifra 1 con un cero adjunto signifique 4, y que la 1 doblada (dos rayas perpendiculares) con un cero adjunto signifique 8; son, digamoslo asi, puntos suspensivos, grados intermedios de sistema sedecimal, de 1/4n y 1/2n; pero 3/4n (12) esta sin cero, y tiene un geroglifico propio parecido al 4 arabe. Para el grupo normal 16 y sus multiplos 2n, 3n..... se emplean las cifras bengali conocidas, y asi 16 se espresa con el 1 bengali precedido de rasgo curvo; 32 con el 2 bengali, 48 con el 3 bengali. Los multiplos de n vienen a ser, pues, numeros primero, segundo, tercer..... ordenes; los numeros 2n+4, o 3n+6 (esto es, en el sistema sedecimal 36 y 54) estan designados con un 2 bengali y una cifra mahabharata 4 al lado, como tambien con una cifra bengali 3 y otra mahabharata 6; metodo de numeracion regularisimo, pero incomodo y complicado, y cuyo origen es tanto mas enigmatico cuanto que presupone el conocimiento de las cifras bengali. Entre los manuscritos arabes merecen particular atencion los que tratan de hacienda o de la aritmetica en general, v. gr. Abn Jose Alchindus, de arithmetica indica; Abdel Hamid ben vasee Abalphadl, de numerorum proprietatibus; Ahmad ben Omar Alkarabisi, liber de indica numerandi ratione; el Algebra india de Katka; Mohammed ben Lara, de numerorum disciplina. (Casiri, Bibliot. arabico-hispana, t. I, p. 353, 405, 410, 426 y 433.) Si la aritmetica de posicion no es originaria de la India, debe haber existido por lo menos alli de tiempo inmemorial; porque ningun vestigio de notacion alfabetica se halla entre los Indios como la de los Hebreos, Griegos y Arabes. (Delambre, Hist. de la Astr. ant., t. I, p. 543.) Se emplea esta espresion impropia para designar unicamente el sistema de cifras que presentan las copias de este poema.