De los sistemas de cifras usados por diferentes pueblos, y del origen del valor de posicion de las cifras indias.

(Diario de Crelle, tom. 4.

°, pág. 206).

= Memoria leida en la Academia de Ciencias de Berlin el 2 de marzo de 1829, por el Sr. Baron Alejandro de Humboldt, traducida del aleman por Woepcke.

(Ann. de Mathem., octubre y noviembre 1851.)

En las investigaciones hasta el dia hechas acerca de los signos de la numeracion (únicos geroglíficos que en los pueblos del antiguo continente se hayan conservado á la par con la escritura literal, anatomía fonética de la palabra), se ha tratado mas bien de la forma individual de los signos, que del espíritu de los métodos por medio de los cuales ha conseguido el entendimiento humano espresar cantidades con mayor ó menor sencillez.

Tan mezquino ha sido el punto de vista de mirar este objeto, como el que por largo tiempo reinó en la comparacion de las lenguas, cuando mas bien se consideraba la frecuencia de ciertos sonidos y de ciertas terminaciones, ó la forma de las raices, que la estructura orgánica de sus gramáticas.

Llevo trabajando algunos años con objeto de presentar en general los sistemas de cifras que usaron diferentes pueblos antiguos y modernos.

El conocimiento de ciertas cifras de los Aztekas (Méjicanos) y de los Muyscas (habitantes de la llanura de Cundinamarca), que hallé en mis viajes; el descubrimiento que hizo Tomás Young de la cifra egipcia, cuyos signos sabemos que no todos espresan por yuxtaposicion el múltiplo de los grupos; la cifra gobar (de polvo) de los árabes, poco notada aún, descubierta por Silvestre de Sacy en un manuscrito de la Biblioteca de París; las comparaciones que tengo hechas entre estos últimos signos de numeracion y las cifras mejicanas y chinas; la certidumbre que han dado de sí las gramáticas publicadas en la India, de que las cifras y letras empleadas como signos de numeracion aquende y allende del Ganges no solo son de forma enteramente distinta, sino que tambien son totalmente distintos los sistemas de cifras mismos, tengan ó no valor de posicion; el método indio, en fin, desconocido del todo, que se halla en un escolio del monje griego Neófitos, todo forma un conjunto de materiales que pueden dar alguna luz sobre nuestro sistema de numeracion llamado árabe.

En una memoria que el año de 1819 leí en la Academia de Inscripciones y Bellas Letras de París, me propuse demostrar cómo era que en pueblos que abreviaban el método de la simple yuxtaposicion, escribiendo (como los Mejicanos en sus ligaduras de 4 veces 13 ó 52 años, los Chinos, los Japones y los Tamoules) esponentes ó indicadores encima de los signos de numeracion; estos mismos indicadores, suprimiendo los signos de grupos colocados en serie horizontal ó vertical, hubieran podido originar el admirable sistema indio del valor de posicion.

El uso antiguo de cuerdas ó cordones para ayudar la memoria y para contar, debió favorecer á la propagacion de dicho sistema.

Sueltos los cordones, como los quippos de los Tártaros, Chinos, Egipcios, Peruanos y Mejicanos, se mudaban en rosarios cristianos, piadosas máquinas de calcular; tendidos en marcos forman el suanpan de toda el Asia central, el abacus de los Romanos y de los Tuscios , y los instrumentos de la aritmética palpable de las razas eslavas .

Los sistemas de cordones ó de alambres del simple suanpan asiático, representan grupos mas ó menos subidos de un sistema de numeracion, sean decenas, centenas y millares, sean grados, minutos y segundos de la division sexagesimal.

El espíritu del método es uno mismo.

Las perlas de cada cordon son los indicadores de los grupos; un cordon sin ninguna indica cero, y dicen sunya (sanscr.) sifr, ó mejor sifron sihron (árabe, segun Meninski: prorsus vacuum).

No puedo probar históricamente que el origen del valor de posicion dado por los Indios á las nueve cifras fué realmente el que acabo de indicar, pero creo haber abierto el camino para llegar á descubrirlo.

Cuanto cabe esperar del estudio de la oscura historia del ensanche de las fuerzas del humano entendimiento, oscuridad que incita á aclararla, es llegar á columbrar probabilidades por el estilo.

Para saber el uso de los quippos con objeto de contar los pecados en el confesonario, V. Acosta, Historia natural de las Indias, lib. 6, cap. 8; el Inca Garcilaso, lib. 6, cap. 9; Freret, Mem. de la Acad., tom. 6, pág. 609.

Klaproth, Asiat. Mag., t. 2, s. 78.

Otfried Muller, Elrusker, tom. 2, pág. 318.

El rosario se llama en ruso tschotki; la tabla de calcular con cordones (el suanpan de los Tártaros), tschalii.

En los Anales de Física y Química (tom. 12, pág. 93) se publicó un breve estracto de la Memoria que leí en la Academia de Inscripciones.

El manuscrito entero lo posee Champollion, proponiéndose publicarlo junto con otros descubrimientos mucho mas importantes por él hechos en Turin, concernientes á los diferentes métodos de las cifras egipcias.

De entonces acá he seguido completando de cuando en cuando mi primer trabajo; pero como no puedo esperar á tener descanso suficiente para publicarlo en toda su estension, trataré de esponer siquiera los principales resultados que arroja.

En vista del nuevo cuanto acertado vuelo que ha tomado el estudio de las lenguas, en vista del creciente comercio con los pueblos del Asia meridional y occidental, quizás no dañe discutir problemas que tan de cerca se rozan con la marcha que sigue el entendimiento humano y con los brillantes adelantamientos de las matemáticas.

Uno de los geómetras mas insignes de nuestros tiempos y de todos los tiempos, el ilustre autor de la Mecánica celeste, decia : «De la India nos vino el ingenioso método de espresar todos los números con diez caracteres, dándoles á un tiempo valor absoluto y de posicion; pensamiento delicado é importante, tan sencillo hoy, que apenas percibimos su mérito.

Pero esta misma sencillez, y la facilidad suma que en cualesquier cálculos proporciona, ponen á nuestro sistema de aritmética en primera fila entre los inventos útiles; y todavía se apreciará mas y mas la dificultad de discurrirlo, considerando que no ocurrió á ingenios como los de Arquimedes y Apolonio, dos de los hombres mas grandes que honran á la antigüedad.”

Las observaciones siguientes demostrarán en mi concepto que el método indio podia derivar sucesivamente de otros anteriores, y que están hoy todavía en uso en el Asia oriental.

La-Place, Espos. del sist. del mund., lib. 5, cap. 1. Con este juicio contrasta singularmente la opinion vertida por Delambre en su polémica sobre el mérito de la antigua aritmética india, tal cual aparece en la Lilawati de Bhascara Acharya.

(Hist.

de la Astron. ant., tom. 1.

°, pág.

543.)

No es verosimil que la lengua sola lleve á suprimir los signos de los grupos.

La lengua, hablando en general, determina la escritura; y la escritura, bajo ciertas condiciones examinadas por Silvestre de Sacy y por mi hermano, reobra sobre la lengua; lo mismo que las maneras de contar, tan distintas en los diferentes pueblos, y los geroglíficos numerativos, se influyen íntima y mútuamente.

Sin embargo, no siempre es consiguiente en todo rigor esta recíproca influencia; no siempre siguen los signos de numeracion los mismos grupos de unidades que la lengua; no siempre ofrece esta los mismos puntos de parada (los mismos intervalos quinarios) que aquellos.

Pero reuniendo cuanto la lengua (nombres de número) y la gráfica numérica presentan en las zonas mas apartadas, cuanto ha discurrido la inteligencia humana sobre las relaciones cuantitativas, se hallan entonces en la escritura numérica de una raza las irregularidades, aisladas al parecer de la lengua de otra raza.

Y debemos añadir, que cierta torpeza en las partes de la lengua y de la escritura tocantes á la numeracion no pasa de ser falaz medida de lo que pomposamente se llama estado de cultura de la humanidad.

En este punto se ven en pueblos distintos, iguales complicaciones y contrastes que los que presentan en otros.

Junto con variadísimos grados de cultura intelectual y de constituciones políticas, cuándo tienen escritura literal, cuándo solo signos ideográficos; ya riqueza abundante de formas gramaticales, de flexiones derivadas orgánicamente del sonido radical, ya lenguas casi faltas de flexiones, y de formas torpes, digámoslo así, desde su infancia.

Asi es que la accion recíproca del mundo interior y esterior (accion cuyas causas primeras determinantes subsisten ocultas en las tinieblas de un tiempo mítico) empuja al género humano único de naturaleza en direcciones á cual mas divergentes, y lo suele hacer por lo comun irresistiblemente, y se conserva esta divergencia aun cuando por efecto de grandes revoluciones cósmicas se aproximen geográficamente familias de lenguas á cual mas heterogéneas.

Pero ciertas semejanzas, ciertas conexiones que á inmensas distancias se encuentran en las formas gramaticales, en los ensayos gráficos para espresar números grandes, dan testimonio de la unidad del género humano, de la preponderancia de cuanto nace de la inteligencia íntima y de la comun organizacion de la humanidad.

Viajeros que vieron que contando se juntaban cantos ó semillas en montones de á 5 ó 20, pretenden que muchas naciones no cuentan pasados 5 ó 20. Asi pudiera pretenderse que los Europeos no cuentan pasados 10, porque 17 v. gr. consta de 10 y de 7 unidades.

En naciones de las mas civilizadas del Occidente, en los Griegos y Romanos por ejemplo, recuerdan todavía las lenguas la costumbre de formar montones ó grupos, y de aqui las espresiones psephizein, ponere calculum, calculum detrahere.

Grupos de unidades presentan al contar puntos de parada; y pueblos muy distintos, en virtud de comun organizacion corporal (cuatro estremos, y cada uno dividido en cinco partes), se paran bien en una mano, bien en las dos, ó bien en las manos y los pies.

Segun esta diferencia de los puntos de parada, se forman grupos de 5, de 10 y de 20. Singular es que, tanto en los Mandingas de Africa como en los Vascos y como en las razas kimricas (gálicas) del antiguo continente, se hallen grupos de 20.

En la lengua chibcha de los Muyscas, 11, 12 y 13 se llaman: pie uno (quihieha ata), pie dos (quihieha bosa), pie tres (quihieha mica), compuestos de quihieha ó qhieha (pie) y de las tres primeras unidades, ata, bozha ó bosa y mica. El numerativo pie indica 10, porque se pasa al pie despues de haber recorrido contando ambas manos.

Veinte de consiguiente en el sistema de lenguas á que pertenece la de los Muyscas se llama pie diez ó casilla, (gueta), quizás porque contando se usaban granos de maiz en lugar de cantos, y un montoncito de maiz recordaba un granero.

De la palabra casa, gueta ó veinte (los dos pies y las dos manos), se forman luego 30, 40, 80, del modo siguiente: veinte mas diez, dos veces veinte, cuatro veces veinte, en un todo como las espresiones célticas que pasaron á las lenguas romanas, cuatro veinte, quince veinte, y las mas raras seis veinte, siete veinte, ocho veinte.

En francés no se usan dos veinte y tres veinte, bien que en el dialecto gálico ó céltico de la Bretaña occidental, de ugent veinte se forman, daou-ugent, dos veinte ó 40, tri-ugent, tres veinte ó 60, y aun deh ha nao ugent, 190, ó diez con nueve veintenas .

Davies, Celtic Researches, 1804, p. 321; Legodinec, Gramática celto-bretona, p. 55. En el dialecto céltico ó kymrico del pais de Gales, 5 se nombra pump, 10 deg, 20 ugain, 30 deg ar ugain (10 y 20), 40 dengain, 60 trigain.

(William Owen, Dict.

of the Welsh language, vol. 1, p. 134.) Segun el mismo sistema de veintenas se dice en vascuence: bi 2, lau 4, amar 10, oguai 20, birroguai 40, lauroguai 80, berroguetamar 50, esto es 40 y (ata) diez.

(Larramendi, Arte de la lengua vascongada, 1729, pág.

38.)

Pudiera citar otros ejemplos notables de analogía de la lengua con la geroglífica numerativa; podria sacarlos de la yuxtaposicion, de la sustraccion de las unidades que se ponen gráficamente delante del signo del grupo, de grados intermedios de 5 á 15, en pueblos que cuentan por grupos de 10 ó de 20.

En tribus americanas muy atrasadas todavía, como los Guaranis y los Lulos, 6, 7 y 8 se nombran cuatro con dos, cuatro con tres, y cinco con tres.

Los Musas, algo mas civilizados, dicen veinte (ó casa) con diez por 30, como los Kymros del pais de Gales dig (diez) or urgain (con veinte), y los Franceses sesenta y diez por 70.

En todas partes, entre los Etruscos, Romanos y Mejicanos, como entre los Egipcios, se hallan adiciones por yuxtaposicion; las lenguas ofrecen tambien formas sustractivas ó minorativas; entre los Indios se halla en el sanscrit, unavinsati 19, unusata 99; en los Romanos, unde viginti (unus de viginti) 19, unde octaginta 79, duo de quadraginta 38; en los griegos, cikosi deonta henos 19, y pentekonta düoin deontoin 48, ó sea dos menos de cincuenta.

Esta misma forma minorativa de la lengua pasó á la gráfica numérica, poniendo caractéres á izquierda de los signos de grupos 5, 10, y aun de sus múltiplos, v. g.: 50 ó 100 (IV y IΛ, XL y XT para designar 4 y 40 los Romanos y los Tuscios.)

En ciertas inscripciones raras romanas, recojidas por Marini , se ven cuatro unidades delante del 10, como IIIIX, para designar 6. Luego veremos que hay razas indias que tienen métodos gráficos en los cuales el valor de posicion, segun la posicion ó direccion de los signos, indica adicion y multiplicacion, al paso que en los Tuscios y Romanos la posicion es aditiva ó sustractiva.

En los citados sistemas indios (usando cifras romanas), IIX indica veinte, y XII doce.

Iscrizioni della villa di Albano, pág. 193; Herbás, Aritmética delle nazioni, 1786, pág.

11—16.

En muchas lenguas, los grupos normales 5, 10, 20 se llaman una mano, dos manos, mano y pie (los Guaranis dicen mbombiade).

Recorridos contando los dedos de ambos estremos, se toma el hombre entero por símbolo de 20; v. g.: en la lengua de los Yarcnos, pueblo que vive á orillas del rio Apace, que desagua en el Orinoco, 40 se nombra dos hombres, noeni jemme, de noemi dos, y jemme hombre.

En persa, pentscha significa el puño, y pendj cinco, derivado de la voz sanscrit pantscha.

Segun observa Bopp, de esta voz viene la latina quinque, como de tschatur (sanscrit) viene quatuor.

El plural de tschatur es tschatvaras, que se acerca mucho á la forma dórico-eolia tettares; porque la ch india, pronunciada como en inglés tsch, se muda en t en las formas griegas, y asi tschatvaras se muda en tatvaras, y pantscha en penta (en griego pente, dialecto eolio): pempe, de donde pempezein, contar por cinco ó por los dedos.

En latin corresponde la q al tsch indio, y asi tschatur y pantscha se mudan en quatuor y quinque.

La palabra pantscha, ni aun en sanscrit significa nunca mano, sino tan solo el número 5. Sin embargo, pantschasatcha es una espresion descriptiva que designa la mano como miembro de cinco ramas.

Asi como la palabra (con singular sencillez en las lenguas de la América meridional) designa como puntos de parada los grupos 5, 10, 20, lo mismo advertimos iguales grupos en la geroglífica numerativa.

Los Romanos y los Tuscios tienen cifras simples para designar 5, 50, 500. Se ha conservado el sistema quinario junto con el denario.

En la lengua (mejicana) de los Aztekas, se hallan no solo signos de grupos, v. g., para designar 20 una bandera, el cuadrado de 20 ó 400 una pluma llena de granos de oro (servia de moneda en algunas provincias mejicanas), el cubo de 20 ú 8000, un costal (xiquipilli) con 8000 granos de cacao dentro (tambien servia para los cambios), sino tambien (porque la bandera está dividida en cuatro cuarteles, y dada de color la mitad ó las tres cuartas partes) cifra para designar la mitad de 20 ó 10, los ¾ de 20 ó 15, ó como si dijéramos dos manos y un pie.

Pero en ninguna parte se presenta prueba tan notable de la recíproca influencia entre escritura y lengua como en la India.

En sanscrit, el valor de posicion de las unidades entra hasta en la lengua: esto es, los Indios tienen cierto método figurativo de espresar números con objetos de los cuales se conoce un número determinado.

Surga (sol), v. g., significa 12, porque en los mitos indios se suponen doce soles que siguen el orden de los meses. Los dos Aswinas (Castor y Polux), que se hallan tambien entre los naktschatras y mansiones lunares, espresan 2; manu significa 14. Para espresar 1214, dicen surgmanu, compuesto de los símbolos de 12 y 14. Probablemente manusurga signifique 1412, y aswinimanu 214. La numeracion del sanscrit es tan perfecta, que tiene una voz sola para diez millones, koti, lo mismo que la lengua qquschna (peruana), que no cuenta por grupos de 20, tiene una voz sola (hunu) para espresar un millon.

Si, como dice Ovidio, no contamos por decenas quia tot digiti, per quos numerare solemus, tuviese el hombre los estremos con seis divisiones, hubiera discurrido una escala duodenaria, grupos de 12 que presentan la gran ventaja de divisiones sin fracciones por 2, 3, 4 y 6, como los usan los Chinos desde los tiempos mas remotos para medir y pesar.

De estas reflexiones acerca de la relacion existente entre la lengua y la escritura, entre los numerativos y los signos numéricos, pasemos á hablar de estos últimos.

Repito que no hablaré tanto de la formacion heterogénea de tal ó cual elemento (cifra), como del espíritu de los métodos empleados por las diferentes naciones para espresar cantidades numéricas: hablaré solo de la figura y forma de las cifras en cuanto puedan influir en raciocinios tocantes á la identidad ó heterogeneidad de los métodos.

Porque los modos de proceder para espresar múltiplos puros ó mistos de grupos denarios fundamentales (v. gr., 4n, 4n 2 ó 4n+7, 4n 2+6n, 4n 2+6n+5) son diversísimos; y los vemos usados, ya por ordenacion (valor de posicion) por varios pueblos indios, ya por simple yuxtaposicion, como en los Tuscios, Romanos, Mejicanos y Egipcios; ya por coeficientes puestos al lado en los habitantes del Mediodía de la península India que hablan la lengua tamoul; ya por ciertos esponentes ó indicadores puestos encima de los signos de grupos en los Chinos, Japones y Griegos; ya al revés por cierto número de ceros ó de puntos sobrepuestos á nueve cifras para indicar el valor relativo ó de posicion de cada cifra, siendo, por decirlo asi, signos de grupos puestos encima de las unidades, como en la cifra gobar de los Arabes y en el sistema de cifras indias, esplicado por el monje Neófitos.

Los cinco métodos que se acaban de citar son totalmente independientes de la figura de las cifras; y á fin de que resalte bien esta independencia, no usaré otros signos sino los empleados comunmente en aritmética y álgebra, y asi se fijará mejor la atencion en lo esencial, que es el espíritu del método.

Con motivo de otro asunto bien distinto del presente, relativo á la serie regular y por lo comun periódica de las curvas geognósticas (adiciones al Ensayo geognóstico sobre el lugar de las rocas), traté de probar que las notaciones pasigráficas pueden contribuir á generalizar las ideas.

Se acostumbra distinguir en los métodos gráficos de los pueblos:

1.

° Signos independientes de las letras del alfabeto.

2.

° Letras, que por cierta colocacion, por ciertas rayas ó puntos añadidos, ó como iniciales de los numerativos , indican el valor numérico.

No cabe duda de que las razas helénicas, asi como las semíticas ó aramaicas (entre estas los mismos Arabes hasta el siglo V despues de la hegira, antes de recibir las cifras de los Persas), en los tiempos de su mayor cultura se servian de unos mismos signos como letras y como cifras.

En el nuevo continente hallamos dos naciones lo menos, los Aztekas y los Muyscas, que tenian cifras sin poseer una escritura literal.

Los geroglíficos usados por los Egipcios para las unidades, decenas, centenas y millares no dependen tampoco al parecer de los fonéticos.

La cifra pehlwi de la Persia antigua en las nueve unidades primeras, es independiente del alfabeto, lo mismo que sucedia entre los Tuscios, los Griegos de los tiempos mas antiguos y los Romanos.

Anquetil advirtió ya que el alfabeto zend, cuyos 48 elementos hubieran podido facilitar la espresion de los números, no se ve usado como cifra, y que en los libros zends están espresados los números con la cifra pehlwi y con las voces zends.

Si trabajos posteriores confirmasen esta falta de una cifra zend, vendrian en apoyo de la opinion de que atendida la afinidad íntima de las lenguas zend y sanscrit, debió separarse el pueblo Zend de los Indios cuando todavía ignoraban estos el valor de posicion de las cifras.

En el pelhwi, de 9 en adelante, constan de letras los signos de grupos 10, 100 y 1.000.

Dal es 10, re junto con za 100, re junto con ghain 1.000.

Considerando cuán poco sabemos del conjunto de cifras que el género humano usa, inferimos que la division de las mismas en cifras literales y cifras propiamente tales, es tan incierta y esteril como la de las lenguas en monosílabas y polisílabas, abandonada mucho há por los verdaderos filólogos.

¿Quién es capaz de decidir con acierto si la cifra tamoul de las Indias meridionales, que no admite valor de posicion, escepto el signo de 2, difiere enteramente del empleado en los manuscritos sanscrits, á no derivar tal cifra del alfabeto tamoul mismo, puesto que parece verse en este, sino el signo de grupo de 100, cuando menos el de 10 (la letra ya) y la cifra 2 (la letra u)?

La cifra telougon , admitiendo el valor de posicion que tambien se usa en la parte meridional de la península, difiere singularmente en los signos de 1, 8 y 9 de todas las cifras indias que hasta el dia conocemos, al paso que concuerda en los de 2, 3, 4 y 6.

Sin duda se esperimentó primero la necesidad de espresar gráficamente números, y asi es que los signos numéricos forman parte de todos los mas antiguos gráficos.

Los instrumentos de aritmética palpable que Leslie en su ingeniosa obra The Philosophy of Aritmethic., 1817, presenta enfrente de la figurativa ó gráfica, son: las dos manos del hombre, montoncitos de cantos (calculi, psephoi), semillas, cuerdas separadas y con nudos (cuerdas para calcular, quippos de los tártaros y del Perú), los suanpan en marcos y tablas de abacus, máquina de calcular de los pueblos eslavos con bolas ó granos en fila.

Todos estos instrumentos manifestaban las maneras primitivas de designar gráficamente grupos de órdenes distintos.

Una mano, una cuerda con nudos ó bolas corredizas designan las unidades hasta 5, ó hasta 10 ó hasta 20.

La otra mano indica cuántas veces al contar se ha pasado por encima de los cinco dedos de la primera (pampehesthei); cada dedo de la segunda, ó sea cada unidad, espresará por tanto un grupo de 5. Lo mismo sucede con dos cuerdas de nudos que con dos manos; y pasando á los grupos de 2.

°, 3.° y 4.° orden, igual relacion de grupos superiores é inferiores se verifica en las cuerdas de calcular tirantes en marcos y con bolas, el suanpan del Asia antigua, que bien pronto pasó en forma de abax ó de tabula logística á los pueblos occidentales (acaso lo llevaron egipcios en tiempos de la confederacion pitagórica).

Los koua’s, que son mas antiguos que la actual escritura china, y aun las líneas paralelas nudosas, parecidas á la pauta música interrumpida de los libros mágicos (raml) del Asia interior y de Méjico, no parecen ser mas que proyecciones gráficas de las mismas cuerdas de calcular y mnemónicas .

En el suanpan asiático ó en el abacus (que usaban los Romanos mas que los Griegos , quienes progresaron mas en la gráfica numérica), al lado de las series denarias que estaban en progresion geométrica, se conservaban tambien series quinarias.

Junto á cada cuerda de los grupos ú órdenes n, n 2, n 3, habia otra mas chica, que designaba cinco de las bolas de la grande con una sola .

Los chinos parece que desde los tiempos mas remotos consideraron arbitrariamente una cuerda cualquiera de la serie de las paralelas como la cuerda de las unidades, de suerte que bajando y subiendo obtenian fracciones decimales, números enteros y potencias de 10.

¡Cuánto tardaron en conocerse en el Occidente las fracciones decimales (á principios del siglo XVI), cuando mucho tiempo hacia que conocian allí la aritmética palpable del Oriente!

Los Griegos no pasaban en la escala ascendente mas allá de la unidad sino en el sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos; y como no tenian n-1, ó sean 59 signos, observaban solo el valor de posicion por filas de á dos números.

La cifra diwani de los Arabes, compuesta únicamente de monogramas ó abreviaturas de numerativos, presenta el ejemplo mas complicado de semejante escritura de iniciales.

De dudar es que las C y las M de los Tuscios y Romanos fueron iniciales tomadas de las lenguas tuscia y romana.

(Leslie, Philos. of Arith., p. 7-9,211; Debrosses, t. 1. p. 436; Hervás, p. 32-35; Otfried Muller, Etrusker, p. 304-318.)

La cruz griega rectangular, en todo parecida al signo chino de 10, en las inscriciones mas antiguas designa mil (Boerk, Corp. inscript. grœc., vol. 1, p. 23), y es solo la forma mas antigua del chi.

(Nuev. trat. de diplom., por dos monjes de San Mauro, vol. 1, p. 678.)

Campbell, Grammar of the teloogoo language, Madras, 1816, p. 4, 208. El telougon es el idioma que por error se llamaba gentoo, y los indígenas lo llaman trilinga ó telenga.

En el Oriente llaman raml, arte de la arena, al arte nigromántico.

Líneas seguidas ó cortadas y puntos sirven de elementos para guiar al adivino.

(Richardson and Wilkins, dictionn.

Persian and Arabic, 1806, t. 1, p. 482.)

El notable manuscrito, real y verdaderamente mejicano, lleno de unas como notas de música, y que se conserva en Dresde, fue tenido á primera vista por un raml oriental por un persa ilustrado que me visitó.

Despues he descubierto kouas efectivamente mejicanos y dibujos lineales en forma de notas de música, muy parecidos al citado, en varios manuscritos geroglíficos de origen azteka, y en las esculturas de Palenque, estado de Guatemala.

En la cifra china de estilo antiguo, el signo de grupo 10, una perla en una cuerda, está tomado evidentemente del quippu (á modo de proyeccion).

Nicomaque en Ast., theologumena arithm., 1817, p. 96.

En los negocios económicos de la edad media, la tabla de calcular (el contador) (abax) se trocó en exchequer.

Lo mismo que en el abacus romano.

En el chino usaban 5 y 2 bolas, y separaban las que no se contaban.

Acerca de los primeros ensayos de notacion decimal hechos por Miguel Stifelius de Eslingen, Slerin de Brujas y Bombelli de Bolonia, v. Leslie, Phil.

of arithm., p. 134.

Examinando el origen de los números, vemos que mediante pilas de cantos ó de las cuerdas de las tablas de contar llenas de bolas, se escribian y leian transitoriamente números con bastante regularidad.

Las impresiones que dejaban tales operaciones influirian sin duda en los primeros rudimentos de la gráfica numerativa.

En los geroglíficos históricos rituales y nigrománticos de los Mejicanos, las unidades hasta 19 (el primer signo simple de grupo es 20) están unas junto á otras en forma de granos gruesos coloreados; y lo singularísimo es que el cálculo va de derecha á izquierda, como la escritura semítica.

Se nota perfectamente este orden en 12, 15 y 17, donde la série primera contiene 10, y la segunda no está completa del todo.

En los monumentos helénicos mas antiguos, en las inscripciones sepulcrales Tuscias entre los Romanos y los Egipcios (lo tienen probado Thomas Jourg, Jomard y Champollion) están designadas las unidades con líneas perpendiculares.

Entre los chinos y en algunas monedas verdaderamente fenicias descritas por Eckel (t. 3, p. 410), están horizontales las mismas líneas hasta 4. Los Romanos (despreciando el signo de grupo quinario) solian juntar en las inscripciones hasta 8 líneas como unidades: de ello presenta muchos ejemplos Marini en su notable escrito Monumenti dei fratelli Arvali.

Las cabezas de clavos que servian para arreglar el año romano antiguo (Annales antea in clavis fuerunt, quos ex lege vetusta figebat Prœtor maximus; Plin., VII, 40) pudieran haber dado los puntos de unidades que se hallan entre los Mejicanos; y con efecto, se ven (al lado de las líneas horizontales chinas y fenicias) en las subdivisiones de las onzas y de los pies.

Los puntos y rayas, 9 ó 19 en la escala denaria ó vicesimal (escala de las manos ó de las manos y pies) del antiguo y del nuevo continente, son la notacion mas grosera del sistema de yuxtaposicion.

Se cuentan las unidades mas bien que se leen.

La existencia independiente, la individualidad, digámoslo asi, de ciertos grupos de unidades como notaciones, no empieza hasta los numerativos alfabéticos de las razas semíticas y helénicas, ó hasta los Tibetanos y los pueblos indios que espresan 1, 2, 3 y 4 con signos particulares é ideográficos.

En el pehlwi de la Persia antigua se presenta una transicion singular de la yuxtaposicion grosera de signos de unidades, á la existencia aislada de geroglíficos compuestos é ideográficos.

Aparece claro el origen de las primeras nueve cifras en el número de incisiones ó dientes; 5 hasta 10 son solo enlaces de los signos 2, 3, 4, sin que vuelva á parecer el signo 1. En los sistemas realmente indios de las cifras devanagari, persa y arabe-europeo, no se ven al parecer contracciones de 2 y 3 unidades, sino en 2 y 3, y de seguro no en cifras mayores que en la península india difieren entre sí con toda regularidad.

Hablando de los números indios, debo decir mi sentir sobre esta denominacion, y sobre las antiguas preocupaciones de creer que la India posee cifras de forma única, con esclusion de los numerativos alfabéticos, que en toda la India se halla conocimiento del valor de posicion y no del uso de signos de grupos particulares para n, n 2, n 3.....

Lo mismo que, cual dice mi hermano, se designa sin razon el sanscrit con los nombres de lengua india, lengua india antigua, puesto que en la península india hay lenguas antiquísimas y que en nada derivan del sanscrit, es en general muy vaga la espresion cifra india, cifra india antigua, tanto respecto de la forma de las cifras como de la índole de los métodos, empleándose ya la yuxtaposicion, ya coeficientes, ya el simple valor de posicion de los grupos principales n, n 2, n 3, y de los múltiplos 2n, 3n.....

Ni siquiera es condicion necesaria del valor de posicion la existencia de un signo de cero en las cifras indias, como lo prueba el escolio de Neófitos.

Las lenguas mas comunes en la parte meridional de la península son el tamoul y el telougon.

Los indios que hablan tamoul tienen cifras distintas de su alfabeto, y entre ellas 2 y 8 se parecen algo á las indias (devanagari) 2 y 5. Las cifras cingalais difieren todavía mas de las indias.

Ni unas ni otras tienen valor de posicion, ni signo de cero; los grupos n, n 2, n 3..... están representados con geroglíficos particulares.

Los cingalais cuentan por yuxtaposicion, los tamouls con coeficientes.

En el imperio Burman, mas allá del Ganges, se hallan valor de posicion y signo de 0, pero figuras de cifras enteramente distintas de las árabes, persas y devanagari-indias.

Todas las nueve cifras persas usadas por los arábes difieren completamente de las de devanagari, 7 es una especie de f romana, 8 de tuscia.

De las que hoy llamamos cifras árabes, solo 1, 2 y 3 se parecen á las devanagari correspondientes; el devanagari 4 es nuestro 8, nuestro 9 es un 7 devanagari, nuestro 7 es un 6 persa.

En Bengali el 5 tiene figura de media luna, y 3, 5, 6, 8 y 9 difieren de las cifras devanagari.

Las cifras de Guzerath no son mas que devanagari-indias mal formadas.

Reflexiones sobre la influencia de las cifras primitivas en el alfabeto, sobre desfiguraciones de letras de intento hechas á fin de distinguir las letras de las cifras, sobre las diferentes colocaciones de las letras numerativas, que no siempre corresponden en un mismo pueblo al orden usual del alfabeto (como sucede en el aboudjed de los pueblos semíticos de Asia y Africa), son agenas de este escrito, aunque dieron márgen á bastantes hipótesis vagas en el campo de los alfabetos y de los geroglíficos comparados.

Yo mismo anuncié tiempo há la conjetura de que las cifras indias no obstante las formas de 2 y 3, eran letras de un alfabeto antiguo, del cual se veian restos en los caracteres fenicios, samaritanos, palmiros y egipcios (en las momias), y aun los monumentos persas antiguos de Nakschi-Rustan.

¿Cuántas letras de estos alfabetos no se parecen á las cifras llamadas esclusivamente indias?

Otros sábios han dicho que estas mismas cifras apellidadas indias venian de los fenicios; y el ingenioso Echkel advirtió que las letras fenicias se parecen tanto á cifras, como que se designa la voz abdera con 19.990 ó 15.550.

Pero tan oscuro está semejante orígen de las cifras y letras, que con los materiales hoy disponibles, no caben investigaciones filosóficas formales, como no sean las que den resultados negativos.

Unos mismos pueblos suelen contar á un tiempo con letras numerativas y con signos de números ideográficos ó arbitrariamente escojidos; tambien suelen hallarse en un mismo sistema numérico métodos muy distintos de espresar los múltiplos del grupo fundamental.

Lo que en un sistema apenas se apunta, se ve desenvuelto completamente en otro; como ciertas formas gramaticales, que solo se columbran en un pueblo, se ven estendidas en otro con predileccion, y con toda la eficacia de sus fuerzas intelectuales.

Al describir uno por uno los sistemas numéricos empleados por cada pueblo, se oscurecen las semejanzas de los métodos, se pierde el rastro del camino por donde llegó el entendimiento humano á la obra maestra de la aritmética india, en la cual cada signo tiene su valor absoluto y su valor relativo, creciendo de derecha á izquierda en progresion geométrica.

En adelante me apartaré del orden etnográfico, ciñéndome á examinar los diferentes medios empleados para espresar gráficamente unos mismos grupos de unidades (grupos mistos ó simples).

Primer método.—Yuxtaposicion.

Simplemente aditiva de las letras numerativas y las cifras verdaderas.

Asi se ve en los Tuscios, Romanos, Griegos hasta la myriada, las razas semíticas, los Mejicanos y la mayor parte de las cifras pehlwi.

Este método es incomodísimo para calcular cuando los múltiplos de los grupos (2n, 3n, 2n 2......) no tienen signos particulares.

Los Tuscios y Romanos repiten los signos 10 hasta 50.

Los Mejicanos, cuyo primer signo de grupo es 20 (una bandera), repiten un mismo geroglífico hasta 400.

Los Griegos por el contrario tienen en las dos series de las decenas y centenas, principiando respectivamente con iota y rho, signos para 20, 30, 400 y 600. Tres episemas (letras de un alfabeto antiguo), bau, koppa y sampi, espresan 6, 90 y 900, terminando las dos últimas las series de las decenas y centenas, cuya circunstancia da mayor semejanza al valor numérico de las letras griegas con el del aboujed semítico.

Bockh en sus ilustrados trabajos sobre el digamma demuestra que bau es el wau de los semitas (de los latinos); koppa era el koph semítico, y sampi el schin semítico.

La serie de las unidades desde alpha hasta heta son en los griegos los números fundamentales (puthmenes), con los cuales, mediante artificios descubiertos por Apolonio, calculaban de tal modo, que en último resultado los reducian á los números correspondientes de las series segunda y tercera (de las análogas).

Segundo método.—Multiplicacion ó disminucion del valor con signos puestos encima ó debajo.

Los puthmenes de la cuarta serie de la notacion griega, volvian á presentarse por analogía, multiplicándolos por 1.000 mediante una rayita debajo de la letra.

Así llegaban al millar, escribiendo hasta 9999.

Aplicando esta notacion de acentos á todos los grupos, suprimiendo todos los signos despues de la theta (9), hubieran tenido espresiones para 20, 200 y 2.000, poniendo á una β dos ó tres acentos; así se hubieran acercado á la cifra árabe gobar, y luego al valor de posicion; pero por desgracia saltaban los grupos de las decenas y centenas, y no empezaban la notacion con acentos hasta 1.000, y ni siquiera les ocurrió ensayarla en los grupos superiores.

Así como una rayita puesta debajo multiplicaba el número por 1.000, una raya vertical encima designaba entre los Griegos una fraccion con la unidad por numerador y con el número de debajo del cuento por denominador.

En Diofanto, γ′ es ⅓, δ′=¼; pero si el numerador es mayor que la unidad, se designa con el número inferior, y entonces el denominador de la fraccion se le añade á manera de esponente, de suerte que v. g. γδ = ¾ .

En las inscripciones romanas, una raya horizontal superior multiplica el número por 1.000, lo cual se puede mirar como abreviatura para ahorrar espacio.

Detambre, tom. 2, pág.

11. El acento añadido encima de las letras, únicamente para indicar que se usan como números, no se debe confundir con el signo de fraccion.

En varios manuscritos matemáticos antiguos no está propiamente perpendicular, sino horizontal, de forma que nunca se pueda confundir con el signo de fraccion.

El método de Eutocio para espresar myriadas es mas importante.

Vemos aquí el primer rastro griego del sistema esponencial, ó mejor de indicacion, tan interesante en el oriente.

Mα, Mβ, Mγ designan 10.000, 20.000, 30.000.

Esta aplicacion esclusiva á las myriadas, se estiende entre los Chinos y Japones, que recibian su cultura de los Chinos 200 años antes de nuestra era, á todos los múltiplos de los grupos.

Tres rayas horizontales debajo del signo 10 indican 13, tres encima 30. Siguiendo este método escribian el número 3.456 así, usando las cifras romanas como signos de grupos, y las indias como esponentes.

M3 C4 X5 I6

Iguales índices se ven en los egipcios.

Encima de una raya encorvada que significa 1.000, ponian 2 ó 4 unidades para espresar 2.000 y 4.000.

En los Aztekas ó Mejicanos he hallado el signo de la ligazon con seis unidades por esponente, para espresar 312 años (6×52=312).

En los Chinos, Aztekas y Egipcios el signo de grupo es siempre el inferior, como si se escribiese X5 por 50; en la cifra árabe gobar, el signo de grupo está encima del indicador.

No olvidemos que en el gobar los signos de grupos son puntos, y de consiguiente ceros; porque en la India, el Tibet y la Persia, ceros y puntos son idénticos.

Los signos gobar los descubrió mi amigo y maestro Silvestre de Sacy en un manuscrito de la antigua abadía de Saint-Germain-des-Prés.

Este insigne orientalista dice: «El gobar tiene mucha conexion con la cifra india, pero carece de cero;” creo sin embargo que tiene signo para cero, pero como en el escolio de Neófitos, puesto encima y no al lado de las unidades: son cabalmente los mismos ceros ó puntos que han hecho dar á estos caracteres el singular nombre de gobar ó escritura de polvo.

A primera vista se duda si debe verse en esto un paso de las letras á las cifras.

Con trabajo se distinguen los 3, 4, 5 y 9 indios.

Dal y ha sean tal vez cifras indias 6 y 2 mal colocadas.

La indicacion con puntos es la siguiente:

3 para 30, 4 para 400, 6 para 6.000.

Estos puntos recuerdan una notacion griega antigua, pero rara, que solo empieza en las myriadas: α¨ para 10.000, β∷ para 200 millones.

En este sistema de progresiones geométricas hay primeramente un punto, que sin embargo no se usa, para indicar 100.

En Diofanto y Pappus vemos un punto entre las letras numerativas para reemplazar á la inicial Mu (myriada).

En tal caso un punto multiplica por 10.000 lo que está á la izquierda.

Parece que ciertas ideas oscuras sobre notaciones por medio de puntos ó ceros, venidas del Oriente, se esparcieron por Alejandrinos en Europa.

El verdadero signo de cero para indicar alguna cosa que falta, lo emplea Tolomeo en la escala sexagesimal descendente, para espresar grados, minutos ó segundos que faltan.

Delambre pretende haber hallado tambien el signo de cero en manuscritos del comentario de Theon á la sintaxis de Tolomeo .

El uso de este signo en Occidente es por tanto anterior con mucho á la invasion de los Arabes.

Véase el escrito de Planude sobre los Arithmoi Indikoi.

Hist. de la Astron. ant., t. 1, p. 547; t. 2, p. 10.

No está el pasage de Theon en sus obras impresas.

Delambre se inclina unas veces á esplicar el signo griego de cero haciéndolo abreviatura de ouden, y otras á derivarlo de cierta relacion particular del numerativo omicron con las fracciones sexagesimales.

(Obra citada, t. 2, p. 14; Diario de los sabios, 1817, p. 539.)

Es singular que en la antigua aritmética india de la Lilawati, cero situado junto á un número indica que se debe restar este.

(Delambre, t. 1, p. 540.) ¿Qué designa el ling (un verdadero cero) escrito en las cifras chinas debajo de 12, 13, 22 y 132?

En las inscripciones romanas los ceros son óbolos repetidos varias veces.

(Rockh, Economía nacional de los Atenienses, B. 2, p. 379.)

Tercer método.—Multiplicacion del valor por coeficientes.

Lo que en los Chinos hemos visto ser indicadores en la escritura perpendicular, la diferencia entre [Formel] y [Formel] , se halla repetido en direccion horizontal en los Griegos, Armenios y habitantes que hablan tamoul en la parte meridional de la península India. Diofanto y Pappus escriben βmu para dos veces 10.000 ó 20.000, al paso que αmuβ (cuando β está á la derecha de la inicial de la myriada) significa una vez 10.000 mas 2 ó 10.002.

Lo mismo sucede en las cifras tamoul, como si se dijera 4X=40 y X4=14. En el pehlwi de la Persia antigua, segun Anquetil, y en el armenio, segun Cerbied, se reconocen multiplicadores puestos á la izquierda para espresar los múltiplos de 100. Tambien debe referirse á este método el punto de Diofanto, arriba mencionado, que reemplaza á Mu, y multiplica por 1.000 á lo que precede.

Cuarto método.—Multiplicacion y disminucion ascendentes y descendentes por division en ringleras de números cuyo valor disminuye en progresion geométrica.

Arquimedes en las octades y Apolonio en las tetrades emplearon solo esta notacion para números que pasasen de (10.000)2, para los 100 millones ó myriadas de myriadas.

Vese aqui evidentemente valor de posicion de unos mismos signos, siguiéndose en ringleras diferentes; hay por tanto valor absoluto y relativo, como en la escala sexagesimal descendente de los astrónomos alejandrinos para indicar los grados, minutos y segundos.

Mas puesto que en este caso, por falta de n—1 ó 59 signos, consta cada ringlera de 2 cifras, no puede ofrecer el valor de posicion la ventaja que los números indios.

Cuando se consideran como enteros las trescientas sesenta avas partes de la circunferencia, los minutos son sesenta avas partes de tal entero, los segundos lo mismo de los minutos, etc.: como fracciones les puso Tolomeo el signo de fraccion, el acento encima, y para indicar la progresion descendente, en la cual cada ringlera de 2 cifras es 60 veces menor que la precedente, se multiplicaron los acentos de ringlera en ringlera.

Asi es que los minutos llevaron el simple acento de las fracciones griegas comunes (con la unidad por numerador), los segundos dos acentos, los terceros tres, los grados mismos, como enteros, ningun acento, quizás como nada (ouden) un cero . Digo quizás, porque en Tolomeo y Theon, los ceros, como signos de grados, faltan todavía.

Respecto del empleo del signo cero, V. Leslie, p. 12-135; Ruithen, Germanen und Griechen Hist., II, p. 2-23; Ducange, Glossar. mediœ grœcitatis, t. 2, p. 572; Maumart, de numerorum quos arabicicos vocant origine; Pythagor., p. 17.

En la aritmética griega, M° designa una unidad, monas, asi como una delta con un cero (propiamente omicron) encima, significa tetartos (Bast., Gregor., Cor., p. 851.)

En Diofanto, M°xα es 21.

El signo gramatical indio auuswara tiene figura de un cero indio (sunga), aunque solo indica modificacion de la pronunciacion de la vocal que esté al lado, y nada tiene que ver con el sunga.

La simple enumeracion de los diferentes métodos empleados para espresar los múltiplos de los grupos fundamentales por pueblos que ignoraban la aritmética india, esplica á mi ver el sucesivo desenvolvimiento del sistema indio.

Escribiendo 3568 perpendicular y horizontalmente mediante indicadores [Formel] , se ve que se pueden escusar los signos de los grupos M, C..... Y cabalmente nuestras cifras indias no son mas que los multiplicadores de los diferentes grupos.

Esa misma notacion valiéndose de solo unidades (multiplicadores), la recuerdan los cordones sucesivos del suanpan, representantes de millares, centenas, decenas y unidades.

En el ejemplo citado manifestaban los cordones 3, 5, 6 y 8 bolas. No se ven signos de grupo. Los signos de grupos son las posiciones mismas, y estas (cordones) están satisfechas por las unidades (multiplicadores).

Por ambos caminos de la aritmética figurativa y palpable se llega, pues, á la posicion india.

Si está vacío ó hueco el cordon, bien subsista libre el puesto escribiendo, bien falte un grupo (un término de la progresion), llena aquel vacío gráficamente el geroglífico del vacío, un círculo vacío, sunga, sifron, zuphra .

En inglés se ha conservado cypher para indicar cero, al paso que en las lenguas occidentales que dicen cero (sifron, seron), indica cifra un numerativo en general solo. En sanscrit se llama sambhara el número ó la cantidad.

Que la notacion numerativa se fue perfeccionando en la India solo á pasos sucesivos, lo confirma la cifra tamoul, que mediante 9 signos de unidades y de signos de grupos para 10, 100 y 1.000, espresa todos los valores valiéndose de multiplicadores añadidos á izquierda; y asimismo lo confirman las singulares arithmoi indikoi del escolio del monje Neófitos, que se conserva en la biblioteca de París.

(Cod. reg., fol 15.) Las 9 cifras de Neófitos, fuera del 4, son lo mismo que las persas.

Las cifras 1, 2, 3 y 9 se ven tambien en inscripciones numéricas egipcias. Las 9 unidades están multiplicadas por 10, 100 y 1.000, poniendo encima uno, dos ó tres ceros, asi v. gr.:

, [Formel] , [Formel] , [Formel] . Poniendo puntos en vez de ceros, resulta la cifra árabe gobar.

Recapitulando lo dicho sobre los muchísimos métodos de notacion de los pueblos de ambos continentes, harto poco conocidos, vemos:

1.

° Pocos signos de grupos y casi esclusivos de n 2, n 3, n 4...., no de 2n, 3n...., ni de 2n 2, 3n 2...., como tenian los Romanos y los Tuscios, X, C, M. (Todos los grados intermedios, 2n ó 2n 2, v. g., están espresados por yuxtaposicion XX, CCC.)

2.

° Muchos signos de grupos, no solo de n, n 2 (iota y rho de las letras numerativas griegas), sino tambien de 3n ó de 4n 2 (λ y υ), lo cual ocasiona suma heterogeneidad de los elementos de espresion de 2+2n+2n 2 (v. g.: σπβ de 222).

3.

° Espresion de los múltiplos del grupo fundamental de sus potencias (2n, 3n, 4n 2, 5n 2), bien poniendo (debajo ó encima) indicadores á los signos de grupos (chinos, [Formel] , [Formel] , [Formel] , [Formel] ; indio-tamoul, 2X, 3X, 4C, 5C), bien puntuando ó acentuando gradualmente los 9 signos primeros de unidades, como [Formel] =10, [Formel] =20, [Formel] =100, [Formel] =1.000, [Formel] =40.000; en gobar, en el escolio de Neófitos y en la escala sexagesimal descendente de los astrónomos alejandrinos, para [Formel] , [Formel] , [Formel] , escribiendo, v. g. 1.° 37.′ 37.″ 37.

‴.....

Hemos visto, en fin, que los indicadores (multiplicadores) de los pueblos del Asia oriental, de los habitantes de la parte meridional de la península india; que la acentuacion de los puthmenes del sistema gobar ó del escolio de Neófitos, que los cordones del suanpan, podian dar el valor de posicion.

Que el sencillo sistema de posicion indio fuese introducido en Occidente á consecuencia de la estancia del sábio astrónomo Rihan Mahommed ebn Abmet Albiruni en la India, como opina Sedillot, ó por traficantes moriscos de la costa septentrional de Africa, y de resultas del comercio que se abria entre éstos y los Italianos, es lo que está por decidir.

No obstante la antigüedad de la cultura india, tampoco se sabe si el sistema de posicion, que tanto influyó en las matemáticas, era conocido ya en tiempo de la espedicion macedonia mas allá de la India.

¡Cuánto mas perfectas hubieran legado las ciencias matemáticas á la ilustrada época de los Haquemitas un Arquimedes, un Apolonio de Perges y un Diofanto, si hubiese recibido el Occidente doce ó trece siglos antes, con la espedicion de Alejandro, la aritmética india de posicion!

Pero la parte de la India anterior que atravesaron los Griegos, el Pendjab hasta Palibothra, estaba habitada por pueblos poco cultos; bárbaros los llamaban los que vivian mas al Oriente.

Solo Seleucus Nicator traspasó el límite que separaba la civilizacion de la barbarie, desde el rio Sarasvatis hasta el Ganges.

De la antigua cifra india tamoul, que espresa 2n, 3n 2...., con multiplicadores adjuntos, y que de consiguiente tiene, además de signos de las nueve unidades primeras, otros particulares de n, n 2, n 3...., se infiere que en la India, al par del sistema de valor de posicion llamado casi esclusivamente indio (ó árabe), habia tambien otros sistemas de cifras sin valor de posicion.

Acaso Alejandro ni sus sucesores bactrios, al penetrar temporalmente en la India, no se ponian en contacto con naciones que esclusivamente usaran el método de posicion.

Ojalá se prosigan con celo los trabajos, ya por filólogos que tengan ocasion de examinar manuscritos griegos, persas y árabes , ya por viajeros que se detengan en la península India misma.

Nada puede dar tantas observaciones notables como la foliacion de antiquísimos volúmenes manuscritos de la literatura sanscrita.

¿Quién sospechará v. gr. que los Indios tuvieran, junto con una aritmética decimal de posicion, un sistema sedecimal sin posicion; que ciertos pueblos indios contaran de preferencia por grupos de 16, como los pueblos americanos, los Kymros y los Bascos por grupos de 20?

Esta singular numeracion se descubrió hace años en un manuscrito del antiguo poema indio Mahabharata.

(Cod. reg., París, p. 178.) Sesenta y cinco páginas de este manuscrito están foliadas con letras numerativas indias, pero usándose solo las consonantes del alfabeto sanscrit (k por 1, kh por 2.....), lo cual está en contradiccion con la idea muy en boga, de que en la India se encuentran empleadas esclusivamente cifras y no letras por cifras, como lo hacian los pueblos semíticos y los griegos.

En la página 60 comienza la singular notacion sedecimal.

En los primeros 15 puthmenes apenas se reconocen dos signos que sean letras sanscritas; t aspirada y d, y parece corresponden respectivamente á 3 y 12; tampoco se encuentran mucho los signos propiamente llamados indios (árabes).

Es de notar que la cifra 1 con un cero adjunto signifique 4, y que la 1 doblada (dos rayas perpendiculares) con un cero adjunto signifique 8; son, digámoslo así, puntos suspensivos, grados intermedios de sistema sedecimal, de ¼n y ½n; pero ¾n (12) está sin cero, y tiene un geroglífico propio parecido al 4 árabe.

Para el grupo normal 16 y sus múltiplos 2n, 3n..... se emplean las cifras bengali conocidas, y así 16 se espresa con el 1 bengali precedido de rasgo curvo; 32 con el 2 bengali, 48 con el 3 bengali.

Los múltiplos de n vienen á ser, pues, números primero, segundo, tercer..... órdenes; los números 2n+4, ó 3n+6 (esto es, en el sistema sedecimal 36 y 54) están designados con un 2 bengali y una cifra mahabharata 4 al lado, como tambien con una cifra bengali 3 y otra mahabharata 6; método de numeracion regularísimo, pero incómodo y complicado, y cuyo origen es tanto mas enigmático cuanto que presupone el conocimiento de las cifras bengali.

Entre los manuscritos árabes merecen particular atencion los que tratan de hacienda ó de la aritmética en general, v. gr. Abn Jose Alchindus, de arithmetica indica; Abdel Hamid ben vasee Abalphadl, de numerorum proprietatibus; Ahmad ben Omar Alkarabisi, liber de indica numerandi ratione; el Algebra india de Katka; Mohammed ben Lara, de numerorum disciplina.

(Casiri, Bibliot. arabico-hispana, t. I, p. 353, 405, 410, 426 y 433.)

Si la aritmética de posicion no es originaria de la India, debe haber existido por lo menos allí de tiempo inmemorial; porque ningun vestigio de notacion alfabética se halla entre los Indios como la de los Hebreos, Griegos y Arabes.

(Delambre, Hist.

de la Astr. ant., t. I, p. 543.)

Se emplea esta espresion impropia para designar únicamente el sistema de cifras que presentan las copias de este poema.