Über die bei verschiedenen Völkern üblichen Systeme von Zahlzeichen und über den Ursprung des Stellenwerthes in den indischen Zahlen.

(Vorgelesen in einer Klassen-Sitzung der Königl. Academie der Wissenschaften zu Berlin, den 2. März 1829.)

(Von Sr. Excellenz dem Königl. wirkl. Geheimen-Rathe, Herrn Freiherrn Alex. von Humboldt.)

Man hat sich bisher, in den Untersuchungen über die numerischen Zeichen (den einzigen Hieroglyphen, welche sich bei den Völkern des Alten Continents neben der Tonzergliedernden Buchstaben-Schrift erhalten haben,) ernster mit der characteristischen Physiognomik der Zeichen und ihrer individuellen Gestaltung, als mit dem Geist der Methoden beschäftiget, durch welche es dem menschlichen Scharfsinne geglückt ist, Größen mit mehr oder weniger Einfachheit auszudrücken.

Der Gang der Untersuchung ist hier fast eben so einseitig, als in den Sprachen gewesen, die lange Zeit hindurch mehr nach der Frequenz gewisser Töne und Endungen, nach der Gestalt der Wurzeln, als nach dem organischen Bau ihrer Grammatik verglichen worden sind.

Ich bin seit mehreren Jahren anhaltend und mit besonderer Vorliebe bemüht gewesen, die bei verschiedenen Völkern alter und neuerer Zeit üblichen Systeme von Zahlzeichen unter einen allgemeinen Gesichtspunct zu stellen.

Die Kenntniß gewisser Ziffern bei den Azteken (Mexikanern) und bei den Muyscas (den Bewohnern der Hoch-Ebene von Cundinamarca ), die ich von meiner Reise zurückgebracht habe; Thomas Young's Entdeckung der ägyptischen Zahlzeichen, die (wie wir jetzt wissen) nicht alle durch Nebeneinanderstellung (juxtaposition) das Vielfache der Gruppen ausdrücken; die so wenig beachtete arabische Gobar (Staub)-Schrift, welche Silvestre de Sacy in einem Pariser Manuscript auffand; die Vergleichung, welche ich zwischen dieser Bezeichnungsart und den mexicanischen und chinesischen Zahlzeichen anstellte; die durch viele in Indien erschienene Sprachlehren erlangte Gewißheit, daß diesseits und jenseits des Ganges nicht bloß ganz verschieden gestaltete Ziffern und Buchstaben-Zahlen, sondern auch ganz verschiedene Zahlen-Systeme, mit und ohne Stellenwerth, herrschen; endlich eine ganz unbekannte indische Methode, die ein Scholion des griechischen Mönchs Neophytos darbietet, lieferten mir eine Reihe von Materialien, welche einiges Licht auf unser sogenanntes arabisches Zahlen-System werfen können.

Ich habe zuerst im Jahre 1819 in einer Abhandlung, welche ich zu Paris in den Sitzungen der Academie des inscriptions et belles-lettres gelesen, zu zeigen gesucht, wie bei Völkern, welche die rohe Methode der Juxtaposition dadurch abkürzen, daß sie (nach Art der Mexikaner, in den Ligaturen von 4 mal 13 oder 52 Jahren, der Chinesen, Japanesen und Tamulen) Exponenten oder Indicatoren über die Zahlenzeichen schreiben, aus diesen Indicatoren, durch Suppression der senkrecht oder horizontal gereiheten Gruppenzeichen, das herrliche indische System des Stellenwerthes entstehen konnte.

Die Verbreitung dieses Systems mußte durch den uralten Gebrauch der Erinnerungs- und Zahlschnüre, welche theils lose, als quippos der Tataren, Chinesen, Aegypter, Peruaner und Mexikaner, zu christlichen Paternostern oder Ritual-Rechenmaschinen umgeformt wurden, theils in feste Rahmen gespannt, den Suanpan von ganz Inner-Asien, den abacus der Römer und Tusker und die Werkzeuge der palpabeln Arithmetik slavischer Stämme bilden, ansehnlich begünstigt werden.

Diese Schnur- und Drahtreihen des einfachsten asiatischen Suanpan repräsentiren höhere und niedere Gruppen eines Zahlen-Systems, gleichviel ob Zehner, Hunderte und Tausende, oder in 60theiliger Abtheilung: Grade, Minuten, Secunden.

Der Geist der Methode ist derselbe.

Die Perlen auf jeder Schnurreihe sind wieder die Indicatoren der Gruppen, und eine leere Schnur deutet auf Null, also auf das leere Sunya (sanscr.) sifr oder eigentlich sifron sihron (arabisch, nach Meninski: prorsus vacuum).

Ich kann nicht historisch entwickeln, daß der Ursprung des indischen Stellenwerthes von 9 Ziffern wirklich der sei, welchen ich angegeben; aber ich glaube einen Weg gefunden zu haben, auf welchem allmälig die Entdeckung gemacht werden konnte.

Auf die Einsicht solcher Möglichkeiten führt ja überhaupt nur die dunkle und eben darum so anziehende Geschichte der alterthümlichen Entwickelung geistiger Kräfte und Bildung des Menschen-Geschlechts.

Ueber die Meinung, daß die Zahlzeichen der Muyscas (zugleich Hieroglyphen der Mondtage des zunehmenden Alters des Mondes) mit dem sich nach den verschiedenen Phasen allmälig entwickelnden Mondgesichte zusammenhängen, siehe Humboldt, Vues des Cord.

et Monumens des peuples indigenes de l'Amerique T. II. pag. 237 -- 243.

Pl. XLIV.

Ueber die quippos zur Abzählung der Sünden im Beichtstuhle s. Acosta Hist. natural de las Indias, lib. 6. cap. 8. El Inca Garcilaso, lib. 6. cap. 9. Freret Mem. de l'acad.

T. 6. p. 609.

Klaproth Asiat. Mag. Th. II. S. 78.

Otfried Müller, Etrusker, T. II. p. 318.

Im Russischen heißt der Rosenkranz tschotki; das Rechenbrett mit Schnüren (der Suanpan der Tataren) tschotü.

Von jener in der Academie des inscriptions gelesenen Abhandlung ist nur ein kurzer Auszug gedruckt worden, und an einem Orte , wo man ihn schwerlich sucht.

Das Manuscript selbst ist in Herrn Champollion's Händen, der es mit weit wichtigeren, von ihm in Turin entdeckten Thatsachen über die verschiedenen Methoden der ägyptischen Zahlzeichen, bekannt machen wollte.

Ich habe seitdem von Zeit zu Zeit fortgefahren, meine erste Arbeit zu vervollständigen; aber da ich nicht hoffen darf, Muße genug zu finden, sie in ihrer ganzen Ausdehnung herauszugeben, so werde ich in dieser Abhandlung mehrere der Haupt-Resultate zusammendrängen.

Bei der neuen und glücklichen Richtung, welche das Studium der Sprachen und Monumente genommen, bei dem wachsenden Verkehr mit den süd- und ost-asiatischen Völkern, ist es wohl nicht ohne einigen Nutzen, Probleme zur Sprache zu bringen, welche mit dem Gange des menschlichen Geistes, und (durch die letzten Verzweigungen der Zahlen-Hieroglyphik und einfacher graphischer Methoden) mit den glänzendsten Fortschritten der Mathematik in so enger Verbindung stehen.

"Der Gedanke, alle Quantitäten durch neun Zeichen auszudrücken, indem man ihnen zugleich einen absoluten und einen Stellungswerth giebt, sagt einer der größten Geometer unserer Zeit und aller Zeiten, der Verfasser der Mecanique celeste , ist so einfach, daß man eben deshalb nicht genugsam erkennt, welche Bewunderung er verdient.

Aber eben diese Einfachheit und die Leichtigkeit, welche die Methode dem Calcul zusichert, erheben das arithmetische System der Inder zu dem Range der nützlichsten Entdeckungen.

Wie schwer es war, eine solche Methode aufzufinden, kann man daraus abnehmen, daß sie dem Genie des Archimedes und Apollonius von Perga, zweier der größten Geister des Alterthums, entgangen war."

Die nachfolgenden Bemerkungen werden zeigen, wie ich hoffe, daß die indische Methode allmälig aus früheren, noch jetzt im östlichen Asien üblichen, entstehen konnte.

Gay Lussac et Arago, Annales de chimie et de physique T. XII. p. 93. in der monatlichen Anzeige der Verhandlungen des Instituts.

Humboldt Essais pol. sur la nouv. Espagne (2. edit.) T. III. p. 122--124.

Laplace Expos. du systeme du monde (5. edit.) p. 325.

Mit diesem Urtheile contrastirte sonderbar die Behauptung von Delambre in seinem Streite über das Verdienst der altindischen Arithmetik, wie sie in Bhascara Acharya's Lilawati enthalten ist ( Hist. de l'astronomie ancienne T. I. p. 543.).

Sprache allein führt wohl nicht auf Suppression der Gruppenzeichen.

So wie Sprache im Allgemeinen auf Schrift, und Schrift, unter gewissen, von Silvestre de Sacy und meinem Bruder untersuchten Bedingungen, auf die Sprache zurückwirkt, so stehen auch die, bei verschiedenen Völkern so verschiedenen Arten zu zählen mit der Zahlen-Hieroglyphik in genauer Wechselwirkung.

Doch ist von dieser Wechselwirkung nicht immer strenge Consequenz zu erwarten.

Die Zahlzeichen folgen nicht immer denselben Gruppirungen von Einheiten, als die Sprache; in der Sprache finden wir nicht immer dieselben Ruhepuncte (dieselben quinären Zwischenstufen) als in den Zahlzeichen.

Fasset man aber, was Sprache (Zahlworte) und numerische Graphik in den entferntesten Erdstrichen darbieten, unter einen Blick zusammen, gleichsam als gemeinsames Product der menschlichen Intelligenz, auf quantitative Verhältnisse angewandt, so entdeckt man in der Zahlenschrift des einen Völkerstammes die isolirt scheinenden Sprachsonderbarkeiten eines anderen Stammes; ja, man muß hinzusetzen, daß eine gewisse Unbehülflichkeit im numerischen Gebiete der Sprache und Schrift einen sehr trüglichen Maaßstab für den sogenannten Cultur-Zustand der Menschheit giebt.

Hier finden dieselben verwickelten, unter einander contrastirenden Verhältnisse Statt, als bei Völkern, die Buchstabenschrift oder bloß ideographische Zeichen, die den üppigsten Reichthum grammatischer Formen, aus dem Innern des Wurzellautes sich organisch-entwickelnde Flexionen, oder fast ganz Flexions- und Formenlose, wie im ersten Ausbruche erstarrte Sprachen (und alles dies in den verschiedensten Gradationen intellectueller Bildung und politischer Einrichtungen) besitzen.

So fühlt sich das einige Menschengeschlecht durch Wechselwirkung der inneren und äußeren Welt (eine Wechselwirkung, deren erste bestimmenden Gründe in dem mythischen Dunkel der Vorwelt verhüllt bleiben) in die verschiedensten Richtungen gestoßen; meist unaufhaltsam, die alte Natur bewahrend, auch wenn große Welt-Erschütterungen die heterogensten Sprachstämme einander geographisch näher bringen; aber Ähnlichkeit der durch die fernsten Erdstriche wiederhallenden Anklänge, in grammatischen Sprachformen und graphischen Versuchen große Zahlen auszudrücken, bezeugen die Einheit des alten Geschlechts, das Übergewicht dessen, was aus der inneren Intelligenz, aus der gemeinsamen Organisation der Menschheit entspringt.

Reisende, welche beim Zählen Steinchen und Samenkörner in Haufen von 5 oder 20 zusammenlegen sahen, behaupten, daß viele Nationen nicht über 5 oder 20 zählen . Eben so könnte man behaupten, daß die Europäer nicht über 10 zählen, da siebenzehn aus 10 und 7 Einheiten zusammengesetzt ist.

Bei den cultivirtesten Völkern des Abendlandes, z. B. bei Griechen und Römern, deuten bekanntlich die Sprachen noch auf jene Haufen- und Gruppen-Bildung hin; daher die Ausdrücke psephizein, ponere calculum, calculum detrahere.

Gruppen von Einheiten gewähren Ruhepuncte beim Zählen, und die verschiedensten Völker, in Folge der gleichen körperlichen Gliederung (4 fünffach getheilter Extremitäten) stehen still, entweder bei einer Hand, oder bei beiden, oder bei Händen und Füßen.

Nach dieser Verschiedenheit der Ruhepunkte bilden sich Gruppen von 5, 10 und 20. Merkwürdig ist es immer, daß im Neuen Continent, wie bei den africanischen Mandingas, den Basken und den kymrischen (galischen) Stämmen des Alten Continents, meist Gruppen von 20 herrschen .

In der Chibcha-Sprache der Muyscas (eines Volkes, das, wie die Japanesen und Tibetaner, ein geistliches und ein weltliches Oberhaupt hatte und dessen Nordindische Intercalations- Methode eines 37sten Monats ich bekannt gemacht habe ) heißen 11, 12, 13: Fuß eins (quihieha ata); Fuß zwei (quihieha bosa); Fuß drei (quihieha mica) von quihieha oder qhieha (Fuß) und den 3 ersten Einheiten ata, bozha oder bosa und mica.

Das Zahlwort Fuß bedeutet zehn, weil man den Fuß nennt, wenn schon beide Hände durchgezählt sind.

Zwanzig heißt demnach in dem Sprachsysteme der Muyscas: Fuß-zehn oder ein Häuschen (gueta), vielleicht weil man mit Maiskörnern statt der Steinchen zählte, und ein Häufchen Mais an das Vorraths-Haus, die Mais-Scheuer, erinnert.

Aus dem Worte Haus, gueta, oder zwanzig (beide Füße und Hände) entstehen nun 30, 40, 80 mit den Benennungen: zwanzig plus 10; zweimal zwanzig; viermal zwanzig; ganz wie die celtischen, in die romanischen Sprachen übergegangenen Ausdrücke quatre-vingt, und quinze vingt, ja die seltenern six vingt, sept vingt, huit vingt.

Deux- und trois vingt sind im Französischen nicht üblich, da doch im galischen oder celtischen Dialecte der westlichen Bretagne, die ich vor wenigen Jahren durchstrichen bin, von ugent zwanzig, daou-ugent zwei-zwanzig oder 40; tri-ugent drei-zwanzig oder 60; ja deh ha nao ugent 190 oder zehn über neun Zwanziger heißen .

Pauw, Recherches philos. sur les Americains.

T. II. p. 162. ( Humboldt Monumens americains.

T. II. p. 232--237.)

Beispiele solcher Zahlgruppen von 20 Einheiten liefern in America: die Muyscas, die Otomiten, die Azteken, die Cora-Indianer u. s. f.

Monum. amer. T. II. p. 250--253.

Die Muyscas hatten Steine mit Zahlzeichen bedeckt, die in ihrer Folge den Priestern (xeques) die Intercalation des rituellen Jahres erleichterten.

Siehe die Abbildung eines solchen Intercalations-Steines a. a. Orte, Tab. XLIV.

Davies Celtic Researches 1804. p. 321. Legodinec grammaire celto-bretonne 1807. p. 55.

Im celtischen oder kymrischen Dialecte von Wales heißt 5 pump; 10 deg; 20 ugain; 30 deg ar ugein (10 und 20); 40 deugain; 60 trigain.

( William Owen Dict.

of the Welsh language.

Vol. I. p. 134.)

Nach demselben Systeme der Zwanziger finden wir im Baskischen: bi 2; lau 4; amar 10; oguai 20; birroguai 40; lauroguai 80; berroguetamar 50, d. i. 40 und (ata) zehn.

Larramendi, Arte de la lengua bascongada 1729. p. 38.

(Die baskischen und kymrischen Zahlwörter sind in meinen Monum. II. p. 237. nicht vermengt, aber um die Vergleichung zu erleichtern, zusammengestellt:

nur steht durch einen Druckfehler les premiers statt les deux oder les uns et les autres.)

Von der Analogie der Sprache und der Zahlen-Hieroglyphik könnte ich noch andere merkwürdige Beispiele anführen, in der Juxtaposition, im Abziehen von Einheiten, indem man sie graphisch der Gruppe vorsetzt; in Mittelstufen von 5 zu 15, bei Völkern, die nach Gruppen von 10 oder 20 zählen.

Bei sehr rohen amerikanischen Stämmen, z. B. bei den Guaranis und Lulos, heißen 6, 7 und 8 vier mit zwei, vier mit drei, fünf mit drei.

Bei den gebildeteren Muyscas finden wir zwanzig (oder Haus) mit zehn für 30, wie die Kymren in Wales deg (zehn) or ugain (mit zwanzig), die Franzosen für 70 soixante et dix sagen.

Summirungen durch Juxtaposition finden wir überall bei Etruskern, Römern, Mexikanern und Aegyptern; subtractive oder mindernde Sprachformen im Sanscrit bei den Indern: in 19 oder unavinsati; 99 unusata; bei den Römern in undeviginti für 19 (unus de viginti); undeoctoginta für 79; duo de quadraginta für 38; bei den Griechen eikosi deonta henos 19 und pentekonta düoin deontoin 48, d. i. fehlend 2 an 50.

Dieselbe minorative Sprachform ist in die numerische Graphik übergegangen, wenn den Gruppenzeichen 5, 10, ja selbst ihren Vielfachen, z. B. 50 oder 100, Charactere zur Linken gesetzt werden. (IV und IL, XL und XT für 4 und 40 bei Römern und Tuskern , obgleich bei den letzteren, nach Otfried Müller's neuen Untersuchungen, die Ziffern wahrscheinlich ganz von dem Alphabet herstammen.)

In seltenen römischen Inschriften, die Marini gesammlet , finden sich sogar 4 Einheiten vor 10, z. B. IIIIX für 6. Wir werden bald sehen, daß es graphische Methoden bei indischen Völkerstämmen giebt, in welchen der Stellenwerth, welcher bei Tuskern und Römern nur additiv oder subtractiv ist, nach Maaßgabe der Stellung oder Richtung der Zeichen, auf Addition und Multiplication hindeutet.

In diesen indischen Systemen ist (um mich römischer Ziffern zu bedienen) IIX zwanzig, und XII zwölf.

Herr Bopp führt selbst 95 oder ein um 5 vermindertes Hundert an, pantschonam satam (aus pantscha 5 und una weniger zusammengezogen.)

Otfried Müller, Etrusker, II. p. 317--320.

Iscrizioni della Villa di Albano, p. 193. Hervas Aritmetica delle nazioni 1786. p. 11. 16.

In einer großen Zahl von Sprachen werden die Normal-Gruppen 5, 10, 20 eine Hand, zwei Hände, und Hand und Fuß (bei den Guaranis mbombiabe) genannt.

Hat man an beiden Extremitäten die Finger abgezählt, so erscheint der ganze Mensch als ein Symbol von 20; daher heißt in der Sprache der Yaruros (von denen ich volkreiche Missions- Dörfer am Apure-Flusse, der sich in den Orinoco einmündet, gefunden) 40 zwei Menschen, noeni pume von noeni zwei und pume Mensch.

Im Persischen drückt bekanntlich pentscha die Faust, pendj fünf aus, herstammend von dem Sanscrit-Worte pantscha.

"Letzteres hat (nach Hrn. Bopp's scharfsinniger Bemerkung) auf das römische quinque geführt, wie das indische tschatur auf quatuor.

Der Plural von tschatur (4.) ist tschatvaras, und steht dem Dorisch-Aeolischen tettares sehr nahe.

Das indische ch, wie im Englischen ausgesprochen, also tsch, wird nemlich im Griechischen ein t; daher sich tschatvaras in tatvaras, wie pantscha (5) in panta (das griechische pente, äolisch pempe, davon pempazein an den Fingern oder Fünfen zählen) umwandelt.

Im Lateinischen entspricht dagegen qu dem indischen ch oder vielmehr tsch; daher tschatur und pantscha in quatuor und quinque übergehen.

Pantscha selbst heißt im Sancrit nie Hand, sondern bedeutet einzig die Zahl 5.

Doch ist pantschasakha ein beschreibender Ausdruck für Hand, als eines fünfästigen Organs ."

Ueber die Sanscrit-Zahlwörter in Vergleichung mit griechischen, lateinischen und gothischen Zahlwörtern hat mir Herr Prof. Bopp, in Paris, im Jahre 1820, einen interessanten handschriftlichen Aufsatz mitgetheilt, der ursprünglich bestimmt war, in meinem Werke:

Ueber die Zahlzeichen der Völker zu erscheinen.

Wie nun in der Sprache und, mit besonderer Naivität, in den südamerikanischen Sprachen, die Gruppen von 5, 10, 20, gleichsam als Ruhepuncte bezeichnet sind, so erkennen wir dieselben Gruppen in der Zahlen-Hieroglyphik.

Die Römer und Tusker haben einfache Ziffern für 5, 50, 500.

Das quinare System hat sich neben dem denaren erhalten.

Im Aztekischen (Mexikanischen) finden wir nicht bloß Gruppenzeichen für 20 eine Fahne; für das Quadrat von 20 oder 400 eine Feder mit Goldkörnern gefüllt, die in einigen mexikanischen Provinzen als Münze dienten; für den Cubus von 20 oder 8000 ein Säckchen, xiquipilli, mit 8000 Cacao-Bohnen, ebenfalls zum Tauschhandel bestimmt; sondern auch (da die Fahne in 4 Fächer getheilt und halb oder zu [Formel] colorirt ist) Zahlzeichen für halb-zwanzig oder 10, und für [Formel] zwanzig oder 15, gleichsam 2 Hände und 1 Fuß .

Den denkwürdigsten von allen Beweisen der Wechselwirkung zwischen Graphik und Sprache bietet aber Indien dar.

Der Stellenwerth der Einheiten ist im Sanscrit selbst in die Rede eingedrungen.

Die Indier haben nemlich eine gewisse bildliche Methode, Zahlen durch die Namen von Gegenständen auszudrücken, deren eine bestimmte Zahl bekannt ist. Surya (Sonne), zum Beispiel, bedeutet 12; denn in indischen Mythen werden 12 Sonnen nach der Reihe der Monate angenommen.

Die auch in den Mondhäusern oder naktschatras vorkommenden beiden Aswinas (Castor und Pollux) drücken die Zahl 2 aus; Manu bedeutet 14, nach den Menus der Mythologie.

Aus diesen vorläufigen Andeutungen erhellet nun, wie Surymanu, die Zusammenstellung der Symbole von 12 und 14, die Jahrszahl 1214 bezeichnet.

Diese Thatsache verdanke ich der gütigen Mittheilung des gelehrten Colebrooke.

Wahrscheinlich heißt, nach demselben Prinzip, 1412 Manusurya und 214 Aswinimanu.

Im Sanscrit ist übrigens die Numeration so vollkommen, daß man sogar ein einfaches Wort, koti, für 10 Millionen findet, wie die peruanische qquichua-Sprache, die nicht nach Gruppen von 20 zählt, ein einfaches Wort für eine Million (hunu) kennt.

Für das tuskische Zeichen von 500 s. Otfried Müller, Abth. IV. Fig. 2.

Humboldt, Monum. amer. I. p. 309.

Rechnen wir nach Zehnern nur deshalb, wie Ovid sagt, quia tot digiti, per quos numerare solemus, so würde der Mensch bei 6fach getheilten Extremitäten zu einer duodenaren Scale, zu Gruppen von 12, gelangt sein , die den großen Vorzug von bruchlosen Theilungen durch 2, 3, 4 und 6 gewährt, und der sich die Chinesen seit den frühesten Zeiten bei ihren Maaßen und Gewichten bedienen.

Debrosses II. 158.

Von diesen Betrachtungen über den Verkehr zwischen Sprache und Schrift, zwischen Zahlwörtern und Zahlzeichen, gehen wir nun zu den letzteren selbst über.

Ich wiederhole es, daß in diesem Auszuge aus meinem größeren, unvollendeten Werke nicht sowohl von der heterogenen Gestaltung einzelner Elemente (Ziffern), als von dem Geist der Methoden die Rede sein wird, welche die verschiedenen Nationen im Ausdruck numerischer Größen angewandt haben.

Der Gestalt und Form der Ziffern erwähne ich hier nur, wenn sie auf die Schlüsse über Identität und Heterogeneität der Methoden einwirken.

Die Art zu procediren, um die reinen und gemischten multipla der denaren Fundamental-Gruppen n (z. B. 4n, 4n 2, oder 4n + 7, 4n 2 + 6n, 4n 2 + 6n + 5) auszudrücken, ist nemlich sehr vielfältig, und geschieht bald durch Reihung (Stellenwerth, position), wie bei verschiedenen indischen Völkern; bald durch rohe Juxtaposition, wie bei den Tuskern, Römern, Mexicanern und Aegyptern; bald durch nebenstehende Coefficienten, wie bei den Tamulsprechenden Bewohnern der südlichen, indischen Halbinsel; bald durch gewisse, über den Gruppenzeichen stehende Exponenten oder Indicatoren, wie bei den Chinesen, Japanesen und den Myriaden der Griechen; bald in der inversen Methode, durch eine Zahl von Nullen oder Puncten, welche neun Ziffern oben angehängt werden, um den relativen oder Stellenwerth jeder Ziffer zu bezeichnen, gleichsam Gruppenzeichen, welche über die Einheiten gesetzt werden, wie in der arabischen Gobarschrift und in einem, vom Mönch Neophytos erläuterten indischen Zahlen-Systeme.

Die eben genannten 5 Methoden sind von der Gestaltung der Ziffern ganz unabhängig, und um diese Unabhängigkeit noch besser zu bewähren, habe ich es mir in dieser Abhandlung zum Gesetz gemacht, keine anderen Zeichen, als die gewöhnlichsten arithmetischen und algebraischen zu gebrauchen.

Die Aufmerksamkeit wird auf diese Weise mehr auf das Wesentliche, auf den Geist der Methode, gerichtet.

Ich habe schon bei einem anderen, sehr heterogenen Gegenstande, in Beziehung der regelmäßigen Aufeinander- Lagerung, oft periodischen Reihung der Gebirgsarten (in dem Anhange zu dem Essai geognostique sur le Gisement des Roches) zu zeigen gesucht, wie durch pasigraphische Notationen die Verallgemeinerung der Begriffe gewinnen kann.

Man unterdrückt die, ihrer Natur nach allerdings sehr richtigen Nebenbetrachtungen individueller Form und Mischung, um eine Erscheinung, die man vorzugsweise verfolgen will, in ein desto reineres Licht zu setzen; ein Vortheil, der die frostige Nüchternheit solcher Abstractionen einigermaßen rechtfertigen kann.

Ed. de 1823, p. 364--375.

Man ist gewohnt, in den graphischen Methoden der Völker zu unterscheiden: Zeichen, welche von der Buchstabenschrift unabhängig sind, und Buchstaben, welche durch eine bestimmte Reihung, durch gewisse beigefügte Striche und Puncte oder (in Beziehung auf die Sprache) durch Initialen der Zahlwörter den numerischen Werth angeben.

Es ist bekanntlich keinem Zweifel unterwofen, daß die hellenischen, die semitischen oder aramäischen Stämme (unter letzteren die Araber selbst, bis in das 5te Jahrhundert nach der Hegira, ehe sie durch die Perser die Ziffern erhielten) in der Epoche ihrer gereiften Cultur, dieselben Zeichen als Buchstaben und Ziffern benutzten.

Auf der anderen Seite sehen wir im neuen Continent wenigstens zwei Völker, die Azteken und Muyscas, welche Zahlzeichen und keine Buchstabenschrift hatten.

Bei den Aegyptern scheinen die am meisten gebrauchten numerischen Hieroglyphen für Einheiten, Zehner, Hunderte und Tausende auch nicht mit den phonetischen Hieroglyphen zusammenzuhängen.

Ganz unabhängig vom Alphabet ist auch die altpersische Pehlwi-Zahlenschrift in den ersten 9 Einheiten, wie bei den Tuskern und den ältesten Griechen und den Römern.

Anquetil bemerkt schon, daß das Zend-Alphabet, welches mit seinen 48 Elementen die Zahlbezeichnung hätte erleichtern können, nicht als Ziffern gebraucht werde, und daß in den Zendbüchern die Zahlen immer zugleich in Pehlwi-Ziffern und in Zendwörtern ausgedrückt sind.

Sollte sich ein solcher Mangel von Zend-Zahlen durch künftige Untersuchungen bestätigen, so würde derselbe, bei der innigen Verwandtschaft der Zendsprache mit dem Sanscrit, zu der Meinung führen, das Zend-Volk habe sich von den Indern getrennt, als diese noch nicht den Stellenwerth der Ziffern kannten.

Ueber 9 hinaus sind im Pehlwi die Gruppen- Zeichen 10, 100 und 1000 aus Buchstaben zusammengesetzt.

Dal ist 10; re mit za verschlungen 100; re mit ghain verschlungen 1000.

Wenn man von der ganzen Masse der Zahlzeichen des Menschengeschlechts das Wenige betrachtet, was wir bisher kennen gelernt, so findet man, daß die Eintheilung in Buchstabenzahlen und eigentlich sogenannte Ziffern eben so unsicher und unfruchtbar ist, als die von ächten Sprachkennern längst aufgegebene Eintheilung in ein- und mehrsylbige Sprachen.

Wer kann mit Sicherheit entscheiden, ob die Tamul-Ziffern in Süd-Indien, die keinen Stellenwerth kennen, und, bis auf die Ziffer 2, ganz von den in den Sanscrit-Handschriften gebräuchlichen abweichen, nicht von der alphabetischen Tamulschrift selbst abzuleiten sind, da man in derselben zwar nicht das Gruppenzeichen für 100, aber wohl das Gruppenzeichen 10 (im Buchstaben ya), und die 2 (im Buchstaben u) zu erkennen glaubt?

Die Telugu-Ziffern mit Stellenwerth, ebenfalls im südlichen Theile der indischen Halbinsel gebräuchlich, weichen in 1, 8 und 9 sonderbar von allen uns bekannten indischen Ziffern ab, da sie hingegen in 2, 3, 4 und 6 mit denselben übereinstimmen.

Das Bedürfniß, Zahlen graphisch zu bezeichnen, ist wohl am frühesten gefühlt worden, und numerische Zeichen gehören zu den ältesten aller Schriftzeichen.

Die Werkzeuge der palpablen Arithmetik, wie sie Herr Leslie in seinem geistreichen Werke: the Philosophy of Arithmetic (1817) der figurativen oder graphischen entgegensetzt, sind beide menschlichen Hände, Häufchen von Steinen (calculi, psephoi), Samenkörner, lose Schnüre mit Knoten (Rechenschnüre, tatarische und peruanische quippos), eingerahmte Suanpan und Abacus-Tafeln, die slavische Rechenmaschine mit aufgezogenen Kugeln oder Samenkörnern.

Alle diese Werkzeuge lieferten dem Auge die ersten graphischen Bezeichnungen von Gruppen verschiedener Abstufung.

Eine Hand oder eine Schnur mit Knoten oder verschiebbaren Kugeln bezeichnet die Einheiten bis 5 oder 10 oder 20.

Wie oft durch Schließung der einzelnen Finger eine Hand durchgezählt ist, (pempazesthai) giebt die andere Hand an, auf der dann jeder Finger, d. i. jede Einheit, eine Gruppe von Fünf ausdrückt.

Eben so verhalten sich zwei lose Knotenschnüre gegen einander, und zu Gruppen 2ter, 3ter und 4ter Ordnung übergehend, stehen in demselben auf- und absteigenden Gruppen-Verhältniß die aufgespannten, mit Kugeln bezogenen Rechenschnüre, der alt-asiatische Suanpan, der zu den abendländischen Völkern als abax oder tabula logistica früh (vielleicht durch Aegypter zur Zeit des Pythagoreischen Bundes) übergegangen ist.

Die Koua's, welche älter als die jetzige chinesische Schrift sind, ja die notenartigen, knotigen, oft gebrochenen Parallellinien der Zauberbücher (raml) von Inner-Asien und Mexiko scheinen nur graphische Projectionen von diesen Rechen- und Denkschnüren . Im asiatischen Suanpan oder im Abacus, dessen die Römer sich bei ihren unbehülflichen Zahlzeichen weit mehr bedienten, als die in der Zahlen-Graphik glücklicher fortgeschrittenen Griechen , erhielten sich, neben den denaren Reihen, die in geometrischer Progression auf- und absteigen, auch quinare Reihen.

Zur Seite jeder Zahlenschnur der Gruppen oder Ordnungen n, n 2, n 3 stand eine kleinere Schnur, welche je fünf Kugeln der größeren durch eine einzige bezeichnete.

Mittelst dieser Einrichtung ward die Zahl der Einheiten so vermindert, daß die Hauptschnur nur 4, die Nebenschnüre nur 1 Kugel bedurfte . Die Chinesen scheinen, von den frühesten Zeiten an, willkürlich irgend eine der aufeinander folgenden parallelen Schnüre, als die Schnur der Einheiten betrachtet zu haben, so daß sie, auf- und abwärts, Decimalbrüche und ganze Zahlen und Potenzen von 10 erhielten.

Wie spät (im Anfange des 16ten Jahrhunderts?) ist in die Abendländer die Kenntniß der Decimal-Brüche gekommen, zu welcher die palpable Arithmetik im Orient längst geführt hatte!

Bei den Griechen war, jenseit der Einheit, die aufsteigende Scale nur im Sexagesimal-System, bei Graden, Minuten und Secunden bekannt; aber da man nicht n--1, das heißt, 59 Zeichen hatte, ward der Stellenwerth nur in zweigliedrigen Schichten beobachtet.

Die arabischen Diwani-Ziffern, aus bloßen Monogrammen oder Abbreviationen von Zahlwörtern zusammengesetzt, geben das verwickelteste Beispiel solcher Initial-Schrift.

Ob die uskischen und römischen C und M der tuskischen und römischen Sprache entlehnte Initialen sind, ist zweifelhafter, als man gewöhnlich glaubt.

( Leslie Philos. of Arith. p. 7--9. 211. Debrosses T. I. p. 436. Hervas p. 32. 35. Otfr.

Müller, Etrusker, p. 304. 318.)

Das griechische rechtwinklige Kreuz, ganz dem chinesischen Zeichen von 10 ähnlich, bedeutet auf den ältesten Inschriften tausend ( Boeckh, Corp. inscript. graec. vol. I. p. 23.) und ist nichts anderes, als die uralte Form des Chi ( Nouveau traite de Diplom. par deux Religieux de St. Maur. Vol. I. p. 678.)

Silvestre de Sacy, Gramm. arabe, 1810.

T. I. p. 74. note 6.

Mem. de l'Acad. des belles lettres T. 31. p. 357.

Campbell, Grammar of the Teloogoo-Language (Madras) 1816. p. 4. 208. Teloogoo ist die fälschlich genannte Gentoo-Sprache, von den Eingebornen Trilinga oder Telenga genannt.

Man vergleiche die Ziffertafel von Campbell mit anderen Varietäten indischer Ziffern in Wahl's allgem.

Geschichte der morgenländ.

Sprachen 1784.

Tab. I.

Im Orient wird raml die negromantische Kunst des Sandes genannt.

Ganze oder gebrochene Linien und Puncte, welche die Elemente vorstellen, leiten den Weissager.

( Richardson and Wilkins Diction.

Persian and Arabic.

1806.

T. I. p. 482.)

Als ein solcher orientalischer Raml ist das merkwürdige, ächt mexikanische, wie mit Musik-Noten bedeckte Manuscript, das zu Dresden aufbewahrt wird, und welches ich in meinen Monum. americ. pl. 44. abgebildet, von einem gelehrten Perser, der mich in Paris besuchte, auf den ersten Blick erkannt worden.

Ganz ähnliche, ächt amerikanische Koua und notenförmige Linear-Zeichnungen habe ich seitdem in mehreren aztekischen hieroglyphischen Handschriften und in den Sculpturen des Palenque, im Staat von Guatimala entdeckt.

Im alten Styl der chinesischen Zahlenschriften ist das Gruppenzeichen für 10, eine Perle auf einer Schnur, offenbar (projectionsartig) vom quippu hergenommen.

Nicomachus in Ast, Theologumena arithm. 1817. p. 96.

In dem Finanz-Wesen des Mittelalters wurde der Rechentisch (abax) zum exchequer.

So im Römischen abacus; im Chinesischen gebrauchte man 5 und 2 Kugeln.

Die nicht zählenden Kugeln wurden dann zur Seite geschoben.

Ueber die ersten Versuche der Decimal-Bezeichnung von Michael Stifelius aus Eslingen, Stevinus aus Brügge und Bombelli aus Bologna s. Leslie Phil.

of Arithm. p. 134.

Wenden wir unsern Blick auf den Ursprung der Zahlen, so finden wir, daß in aufgehäuften Steinchen, oder auf den mit Kugeln bedeckten Schnüren der Rechenbretter, Zahlen mit großer Regelmäßigkeit transitorisch geschrieben und gelesen wurden.

Die Eindrücke, welche diese Operationen hinterließen, haben überall auf die früheste Zahlen-Graphik eingewirkt.

In den historischen, rituellen und negromantischen Hieroglyphen der Mexikaner, die ich bekannt gemacht, werden die Einheiten bis 19 (das erste einfache Gruppenzeichen ist 20) als große runde farbige Körner nebeneinander gestellt, und, was sehr merkwürdig ist, die Rechnung geht von der Rechten zur Linken, wie die semitische Schrift.

Man bemerkt diese Folge deutlichst bei 12, 15, 17, wo die erste Reihe 10 enthält, und die zweite nicht ganz ausgefüllt ist.

In den ältesten Hellenischen Monumenten, in den Tuskischen Sepulcral-Inschriften, bei den Römern und Aegyptern (wie Thomas Young, Jomard und Champollion gezeigt haben) sind die Einheiten durch senkrechte Linien bezeichnet.

Bei den Chinesen und in einigen von Eckhel (T. III. 410.) beschriebenen ächt phönicischen Münzen sind diese Striche bis 4 horizontal.

Die Römer reiheten zuweilen (das quinare Gruppenzeichen überspringend,) in Inschriften, bis 8 Striche als Einheiten aneinander.

Viele solche Beispiele giebt Marini in der merkwürdigen Schrift:

Monumenti dei fratelli Arvali .

Die Nagelköpfe zur alten römischen Jahres-Rechnung (annales antea in clavis fuerunt, quos ex lege vetusta figebat Praetor Maximus, sagt Plin. VII. 40.) hätten auf die mexikanischen Einheitspuncte führen können, welche auch wirklich neben den (chinesischen und phönicischen) Horizontal-Linien, in Unter-Abtheilungen der Unzen und Fuße, vorkommen . Diese Puncte und Striche, 9 oder 19 an der Zahl, in der denaren oder Vicesimal-Scale (Hand- oder Hand- und Fuß-Scale) des Alten und Neuen Continents sind die rohesten aller Bezeichnungen im Systeme der Juxtaposition.

Man zählt dann die Einheiten mehr als man sie lieset.

Das Für sich bestehen, gleichsam die Individualität einzelner Gruppen von Einheiten, als Zeichen, fängt erst an, in den Buchstabenzahlen der semitischen und hellenischen Stämme, oder bei den Tibetanern und indischen Stämmen, die durch einzelne ideographische Zeichen 1, 2, 3, 4 ausdrücken.

Im altpersischen Pehlwi zeigt sich ein merkwürdiger Uebergang von der rohen Methode der Juxtaposition von Einheitszeichen, zur isolirten Existenz zusammengesetzter ideographischer Hieroglyphen.

Der Ursprung der ersten 9 Ziffern durch Zahl der Einschnitte oder Zähne, liegen hier vor Augen; 5 bis 9 sind sogar bloße Verschlingungen der Zeichen 2, 3 und 4, ohne Wiederkehren des Zeichens von 1.

In den ächt-indischen Systemen der Devanagari, persischen und arabisch-europäischen Ziffern, sind nur in 2 und 3, Contractionen von 2 und 3 Einheiten zu erkennen, gewiß nicht in den höheren Ziffern, welche in der indischen Halbinsel auf die sonderbarste Weise von einander abweichen.

T. I. p. 31. T. II. p. 675. z. B. in Octumvir.

Marini T. I. p. 228.

Abel Remusat, Langues Tatares p. XXX.

Ueber die sonderbaren indischen Ziffern in Java s. Crawfurd II. p. 263.

Indem ich hier und in den folgenden Theilen der Abhandlung der indischen Zahlen erwähne, muß ich mich zuerst über diese Benennung und über die alten Vorurtheile, als habe Indien einerlei gestaltete Ziffern und keine Buchstaben-Zahlen, als sei in Indien überall Kenntniß des Stellenwerthes und Nicht-Gebrauch von eigenen Gruppen-Zeichen für n, n 2, n 3 .... erklären.

So wie, nach der oftmaligen Aeußerung meines Bruders, Wilh. von Humboldt, das Sanskrit sehr unbestimmt durch die Benennungen "indische und alt-indische Sprache" bezeichnet wird, da es in der Indischen Halbinsel mehrere sehr alte, vom Sanskrit gar nicht abstammende Sprachen giebt: so ist auch der Ausdruck "indische, alt-indische Ziffern" im Allgemeinen sehr unbestimmt, und diese Unbestimmtheit bezieht sich sowohl auf die Gestaltung der Zahlzeichen als auf den Geist der Methoden, welche man durch Juxtaposition, oder durch Coefficienten, oder durch bloßen Stellenwerth der Haupt-Gruppen n, n 2, n 3 und der Vielfachen derselben 2 n, 3 n .... bezeichnet.

Selbst die Existenz eines Null-Zeichens ist, wie das Scholion des Neophytos lehrt, in indischen Ziffern noch kein nothwendiges Bedingniß des Stellenwerthes.

Im südlichen Theile der indischen Halbinsel sind die Tamul- und Telugu-Sprachen die weitverbreitetsten.

Die Tamulsprechenden Inder haben von ihrem Alphabet abweichende Zahlzeichen, von denen die 2 und die 8 eine schwache Aehnlichkeit mit den indischen (Devanagari-) Ziffern von 2 und 5 haben .

Noch verschiedener von den indischen Ziffern sind die cingalesischen . In diesen und den Tamulischen findet man keinen Stellenwerth, kein Nullzeichen, sondern Hieroglyphen für die Gruppen n, n 2, n 3 ....

Die Cingalesen operiren durch Juxtaposition, die Tamulen durch Coefficienten.

Jenseits des Ganges, im Burman-Reiche, sehen wir Stellenwerth und Nullzeichen; aber von den arabischen, persischen und Devanagari-indischen Ziffern gänzlich abweichende Zeichen .

Die von den Arabern gebrauchten persischen Ziffern weichen alle 9 gänzlich von den Devanagari-Ziffern ab; 7 ist wie eine römische, 8 wie eine tuskische 5 gestaltet.

Unter dem, was wir heute arabische Ziffern nennen, sind bloß 1, 2, 3 den Devanagari-Ziffern gleicher Bedeutung ähnlich; die devanagari 4 ist unsere 8; unsere 9 ist eine devanagari 7; unsere 7 ist eine persische 6.

Im Bengali ist 5 ein halber Mond und 3, 5, 6, 8 und 9 weichen ganz von den Devanagari-Ziffern ab . Bloß verunstaltete indische Devanagari-Ziffern sind die von Guzerath .

Robert Anderson, Rudiments of Tamul Grammar.

1821. p. 135.

James Chater, Grammar of the Cingalese language, Colombo 1815. p. 135.

Carey, Grammar of the Burman language.

1814. p. 196. Bloß die Burmanischen Ziffern 3, 4 und 7 haben einige Aehnlichkeit mit 2, 5 und 7.

Vergl. John Shakespear, Grammar of the Hindustani language.

1813. p. 95. u. Pl. I. William Jones, Grammar of the Persian language.

1809. p. 93. Silvestre de Sacy, Grammaire arabe.

Pl. VIII.

Graves Chamney Haughton, Rud.

of Bengali Grammar.

1821. p. 133.

Robert Drummond, Illustrations of the Grammat.

Parts of the Guzerath and Mahratt-language.

1808. p. 25.

Betrachtungen über den Einfluß der frühesten Zahlzeichen auf das Alphabet, über geflissentliche Verunstaltungen der Buchstaben, um sie nicht mit Ziffern zu verwechseln, über die verschiedene Reihung der Zahlbuchstaben, welche bei demselben Volke nicht immer mit dem üblichen Alphabet übereinstimmt (wie im aboudjed semitischer Stämme in Asien und Afrika , gehören nicht in diese Abhandlung, und haben zu vielen grundlosen Hypothesen im Felde der vergleichenden Alphabetik und Hieroglyphik Anlaß gegeben.

Ich habe selbst ehemals die Vermuthung geäußert, daß die indischen Zahlen, trotz der Form von 2 und 3, Buchstaben eines alten Alphabets sind, dessen Abglanz sich noch in den phönicischen, samaritanischen, palmyrischen und ägyptischen (Mumien-) Schriftzügen, ja an den alt-persischen Monumenten von Nakschi-Rustan findet.

Wie viele Lettern sehen nicht in diesen Alphabeten den ausschließlich sogenannten indischen Ziffern ähnlich.

Ein phönicischer Ursprung der sogenannten indischen Zahlen ist schon von anderen Gelehrten behauptet worden , und der scharfsinnige Eckhel machte schon darauf aufmerksam, daß die Zahlen-Aehnlichkeit phönicischer Buchstaben so auffallend sei, daß das Wort Abdera durch 19990 und 15550 bezeichnet werde . Aber über diesen Ursprung der Ziffern und Buchstaben herrscht ein Dunkel, welches bei den vorhandenen Materialien eine gründliche philologische Untersuchung unmöglich macht, wenn man sie nicht auf negative Resultate beschränken will.

Silvestre de Sacy T. I. p. 10.

Silvestre de Sacy, Antiquites de la Perse. Pl. I. n. 1. Vergl. die Zahlen-Inschriften am Sinai in Descr. de l'Egypte. Vol. 5. Pl. 57.

Guyot de la Marne in Mem. de Trevoux 1736. p. 160. 1740.

Mars p. 260. Jahn Bibl. Archaeolog.

B. I. p. 479. Büttner vergl. Tafeln 1779.

St. 2. p. 13. Eichhorn Einleit. in das alte Testament.

B. I. p. 197. Wahl, Gesch. der morgenl.

Litt. p. 601. 630. Fundgruben des Orients B. 3. p. 87.

Doctrina nummorum veterum.

1794. T. III. p. 396--404, 421, 494.

So wie oft dieselben Völker zugleich mit Buchstaben-Zahlen und ideographischen oder willkürlich gewählten Zahlzeichen rechnen, so finden sich auch in einem und demselben Zahlen-System, in Hinsicht auf den Ausdruck der multipla der Fundamental-Gruppe, die verschiedenartigsten Methoden, ja was in einem System gleichsam nur angedeutet ist, zeigt sich im andern vollständig entwickelt.

Eben so präludiren, in den Sprachen, bei einer Nation grammatische Formen, welche eine andere mit besonderer Vorliebe und allem Aufwande intellectueller Kraft ausgebildet hat.

Beschreibt man die Zahlensysteme einzeln, wie sie jedes Volk anwendet, so verdunkeln sich die Aehnlichkeiten der Methoden; man verliert die Spur, auf welcher der menschliche Geist zu dem Meisterwerke der indischen Arithmetik gelangt ist, in der jedes Zeichen einen absoluten und relativen Werth hat, in der sie in geometrischer Progression von der Rechten zur Linken wachsen.

Ich verlasse daher in den folgenden Sätzen die ethnographische Folge und betrachte bloß die verschiedenen Mittel, welche angewandt wurden, um dieselben Gruppen von Einheiten (gemischte oder ungemischte Gruppen) graphisch auszudrücken.

Erste Methode. Juxtaposition; bloß additiv bei Buchstabenzahlen und eigentlichen Ziffern.

So Tusker, Römer, Griechen, bis zu der Myriade, semitische Stämme, Mexikaner und der größere Theil der Pehlwi-Ziffern.

Diese Methode macht besonders das Rechnen beschwerlich, wenn die multipla der Gruppen (2n, 3n, 2n 2 ....) nicht eigene Zeichen haben.

Bei den Tuskern und Römern ist Wiederholung von den Zeichen 10 bis 50, bei den Mexikanern, wo das erste Gruppenzeichen 20 (eine Fahne) ist, findet Wiederholung desselben Hieroglyphen bis 400 statt.

Dagegen haben die Griechen in den beiden Reihen der Zehner und Hunderter, die mit iota und rho anfangen, Zeichen für 20, 30, 400 und 600. Drei Episemen (Buchstaben eines veralteten Alphabets) bau, koppa und sampi drücken aus: 6, 90 und 900; die letzteren beiden schließen die Reihen der Zehner und Hunderter, wodurch der Zahlenwerth der griechischen Buchstaben dem des semitischen aboudjed's etwas ähnlicher wird . Herr Böckh hat in seinen gelehrten Untersuchungen über das Digamma gezeigt, daß bau das wau der Semiten (der Lateiner) ist; koppa war das semitische koph (9) und sampi das semitische schin . Die Reihe der Einheiten von alpha bis theta bildet bei den Griechen die Wurzelzahlen (püthmenes), mit welchen man durch Kunstgriffe, die Apollonius erfand , im Rechnen so operirte, daß man sie, im letzten Resultate, auf die correspondirenden Glieder der 2ten und 3ten Reihen (der Analogen) reducirte.

Hervas Arithm. delle nazioni. p. 78. Ueber alte Reihenfolge der Lettern in semitischen Alphabeten: Descript. de l'Egypte moderne. T. II. P. II. p. 208.

Staatshaushaltung der Athener B. II. p. 385.

Delambre hist. de l'astron. ancienne T. II. p. 10.

Zweite Methode.

Vervielfachung oder Verminderung des Werthes durch darüber oder darunter gesetzte Zeichen.

In der vierten Reihe der griechischen Notation kehren bekanntlich die püthmenes aus Analogie wieder, tausendfach vermehrt, durch Hinzufügung eines Strichs nach unten.

So reichte man bis zur Myriade; man schrieb bis 9999.

Hätte man die Strich-Notation für alle Gruppen angewandt, und alle Zeichen nach dem theta (9) unterdrückt, so hätte man für b, mit einem oder 2 oder 3 Strichen, Ausdrücke für 20, 200 und 2000 gehabt, und sich, wie wir bald sehen werden, den wenig bekannten arabischen Gobar-Zahlen, und mit ihnen den Stellenwerthen genähert; aber mit einer unglücklichen Ueberspringung der Gruppen von Zehnern und Hunderten, fing die Strich-Notation erst mit den Tausenden an, und ward selbst nicht in höheren Gruppen versucht.

Wenn ein Strich, der unten zugefügt wird, die Zahl tausendfach vermehrt, so bezeichnet dagegen bei den Griechen ein senkrechter Strich, oben hinzugefügt, einen Bruch, dessen Zähler die Einheit und dessen Nenner die Zahl ist, welche unter dem Strich notirt wird.

So ist im Diophantus g' = [Formel] ; d' = [Formel] , aber die untere Zahl bezeichnet den Zähler, wenn dieser größer als die Einheit ist, und der Nenner des Bruches wird alsdann wie ein Exponent geschrieben, so daß z. B. gd = [Formel] . In römischen Inschriften vermehrt ein Horizontal-Strich, nach oben zugefügt, die Zahl tausendfach, was als ein Mittel der Abkürzung und Ersparung des Raumes betrachtet werden kann.

Delambre T. II. p. 11.

Der Strich, der zu den Buchstaben oben hinzugefügt wird, bloß um anzuzeigen, daß sie als Zahlen gebraucht werden, muß nicht mit dem Fractionszeichen verwechselt werden.

Auch ist derselbe in den älteren mathematischen Handschriften eigentlich nie senkrecht, sondern horizontal, und daher mit dem Fractionszeichen nie zu verwechseln.

( Bast: de usu litterarum ad numeros indicandos in Gregorii Corinthii liber de dialectis linguae graecae 1811. p. 850.)

Wichtiger ist die Methode des Eutocius zum Ausdruck der Myriaden.

Hier treffen wir bei den Griechen die erste Spur des, für den Orient so wichtigen Exponential- oder vielmehr Indications-Systems. M a, M b, M g bezeichnen 10000, 20000, 30000.

Was hier bei den Myriaden allein angewandt wird, geht bei den Chinesen und den Japanesen, die ihre Cultur von den Chinesen 200 Jahre vor unserer Zeitrechnung erhielten, durch alle multipla der Gruppen durch.

Drei Horizontalstriche unter dem Zeichen von zehn bedeuten 13; aber drei Horizontalstriche darüber bedeuten 30.

Nach dieser Methode wird 3456 also geschrieben (ich bediene mich der römischen Zahlen als Gruppenzeichen, der indischen als Exponenten):

M 3

C 4

X 5

I 6.

Bei den Aegyptern finden sich dieselben Indicatoren.

Auf einen gekrümmten Strich , der 1000 andeutet, werden 2 oder 4 Einheiten gestellt für 2000 und 4000.

Bei den Azteken oder Mexikanern habe ich für 312 Jahre das Zeichen der Ligatur mit 6 Einheiten als Exponent gefunden (6 x 52 = 312) und in meinem Werke über Amerikanische Monumente abgebildet.

Bei Chinesen, Azteken und Aegyptern steht überall das Gruppenzeichen unten, als schriebe man gleichsam X 5 für 50; in den arabischen Gobar-Ziffern steht das Gruppenzeichen über dem Indicator.

Im Gobar sind nemlich die Gruppenzeichen Puncte, also Nullen, denn in Indien, Tibet und Persien sind Nullen und Puncte identisch.

Diese Gobar-Zeichen, welche seit dem Jahre 1818 meine ganze Aufmerksamkeit auf sich gezogen haben, sind von meinem Freunde und Lehrer, Herrn Silvestre de Sacy, in einem Manuscript aus der Bibliothek der alten Abtey St. Germain du Pres entdeckt worden.

Dieser große Orientalist sagt:

Le gobar a un grand rapport avec le chiffre indien, mais il n'a pas de zero . Ich glaube, daß allerdings das Nullzeichen vorhanden sei: es steht aber, wie im Scholion des Neophytos, über den Einheiten, nicht daneben; ja es sind gerade die Nullzeichen oder Puncte, welche diesen Characteren den sonderbaren Namen gobar oder Staubschrift gegeben.

Man ist auf den ersten Blick ungewiß, ob man einen Übergang zwischen Ziffern und Buchstaben darin erkennen soll.

Man unterscheidet mit Mühe die indische 3, 4, 5 und 9. Dal und ha sind vielleicht schlecht gestellte indische Ziffern 6 und 2.

Die Indication durch Puncte ist folgende:

Kosegarten de Hierogl. Aegypt. p. 54. Gatterer's aus Bianchini (Decad. I. cap. 3. p. 3.), aus Goguet (I. p. 226.) und aus Debrosses (I. p. 432.) entlehnte Behauptung, daß Aegypter in senkrechter Richtung den 9 Einheiten Stellenwerth gaben, ist durch neuere Untersuchungen keinesweges bestätigt worden.

Gatterer, Weltgeschichte bis Cyrus, p. 555. 586.

S. Gramm. arabe p. 76. und die der Pl. 8. zugefügte Note.

3. für 30,

4.. für 400,

6 für 6000.

Diese Puncte erinnern an eine alt-griechische, aber seltene Bezeichnung , die erst mit der Myriade anfängt: a.. für 10000, b für 200 Millionen.

In diesem Systeme geometrischer Progressionen ist ursprünglich ein Punct, den man aber nicht anwendet, 100.

Bei Diophantus und Pappus stehet ein Punct zwischen den Buchstabenzahlen, statt der Initiale Mu (Myriade).

Ein Punct multiplicirt dann, was zur Linken steht, 10000 mal.

Man möchte glauben, daß dunkle Ideen von Bezeichnungen durch Puncte und Nullen sich durch Alexandriner aus dem Orient nach Europa verbreitet hatten.

Das wirkliche Nullzeichen, und als etwas Fehlendes, wendet Ptolemäus in der abwärts steigenden Sexagesimal-Scale für fehlende Grade, Minuten oder Secunden an.

Auch in Handschriften des Theon, im Commentar zur Syntaxis des Ptolemäus, will Delambre das Nullzeichen gefunden haben . Es ist daher im Occident weit älter, als der Einbruch der Araber.

Planudes Schrift über die arithmoi indikoi.

Ducange Palaeogr. p. XII.

Histoire de l'astron. ancienne T. I. p. 547. T. II. p. 10.

Die Stelle im Theon ist in seinen gedruckten Werken nicht aufzufinden.

Delambre ist geneigt, das griechische Nullzeichen bald der Abbreviatur von ouden, bald einer besonderen Beziehung zuzuschreiben, in welcher das Zahlzeichen omicron mit den Sexagesimal-Brüchen steht. L. c. T II. p. 14. und Journal des savans.

1817. p. 539. Sonderbar, daß in der alt-indischen Arithmetik der Lilawati die Null neben einer Zahl bedeutet, daß die Zahl abzuziehen ist. Delambre I. p. 540.

Was bezeichnet der Ling (eine wahre Null), welcher in den chinesischen Zahlzeichen unter 12, 13, 22, 132 geschrieben wird?

In römischen Inschriften sind Nullen mehrfach wiederholte Obole.

( Böckh Staatshaushaltung der Athener B. 2. S. 379.)

Dritte Methode.

Vervielfachung des Werthes durch Coefficienten.

Was wir bei den Chinesen als Indicatoren in der senkrechten Schrift gefunden haben, ein Unterschied von [Formel] und [Formel] , wird in horizontaler Richtung bei Griechen, bei Armeniern und bei den Tamul-redenden Bewohnern der südlichen Halb-Insel von Indien wiederholt.

Diophantus und Pappus schreiben bMu für zweimal zehntausend oder 20000, da aMub (wenn b der Initiale der Myriade rechts steht) einmal zehntausend plus zwei, oder 10002 bezeichnet.

Dasselbe findet statt bei den Tamulziffern, gleichsam als wäre 4 X = 40 und X 4 = 14.

Im alt-persischen Pehlwi, nach Anquetil, und im Armenischen, nach Cerbied erkennt man links stehende Multiplicatoren, um die Vielfachen von 100 auszudrücken.

Hierher gehört auch, der Methode nach, der oben erwähnte Punct des Diophantus, welcher für Mu stehet und 1000 mal das Vorhergehende erhöht .

Grammaire Armenienne.

1823. p. 25.

Solche Abtheilungen durch Puncte, welche, auf eine übrigens sehr inconsequente Weise, einen Stellenwerth bezeichnen, findet man ebenfalls in drei oft bestrittenen Stellen des Plinius ( VI. 24. 33. XXX. 3).

Vierte Methode.

Vervielfältigung und Verminderung, aufsteigend und absteigend, durch Abtheilung von Zahlschichten, deren Werth sich in geometrischer Progression vermindert.

Archimedes in den Octaden, Apollonius in den Tetraden, haben diese Notation nur in Zahlen über (10000)2 und in 100 Millionen oder einer Myriade von Myriaden gebraucht .

Hier ist offenbar Stellenwerth derselben Zeichen, die in verschiedenen Schichten aufeinander folgen, also ein relativer und absoluter Werth, wie in der absteigenden Sexagesimal-Scale der alexandrinischen Astronomen, wenn sie Grade, Minuten, Secunden angeben.

Da aber im letzteren Falle (aus Mangel von n--1 oder 59 Zeichen) jede Schicht zweiziffrig ist, so kann der Stellenwerth nicht den Vortheil indischer Zahlen gewähren.

Wenn die dreihundert sechzigsten Theile eines Kreises als Ganze betrachtet werden, so sind Minuten Sechzigstel dieser Ganzen, Secunden Sechzigstel der Minuten u. s. f. Als Brüchen gab ihnen Ptolemäus demnach bruchähnliche Zeichen, den Strich nach oben, und um die absteigende Progression anzudeuten, in welcher jede Schicht von 2 Ziffern 60 mal kleiner als die vorhergehende ist, wurden die Bruchstriche von Schicht zu Schicht vervielfältigt.

Auf diese Weise erhielten die Minuten den einfachen Strich der gemeinen griechischen Brüche (deren Zähler die Einheit ist), die Secunden zwei solcher Striche, die Tertien drei, die Grade selbst, als das Ganze, keinen Strich, vielleicht als nichts (ouden) eine Null .

Ich sage vielleicht, denn im Ptolemäus und Theon fehlen noch Nullen als Gradzeichen.

Delambre, Hist. de l'astron. ancienne T. I. p. 105. T. II. p. 9.

Ueber Anwendung des Nullzeichens s. Leslie p. 12. 135. Kuithen, Germanen und Griechen Hist. 2. p. 2--33.

Ducange Glossar. mediae graecitatis T. II p. 572. Mannert de numerorum quos arabicos vocant origine. Pythagor. p. 17.

In der griechischen Arithmetik bedeutet M° eine Einheit, monas, wie ein delta mit übergeschriebener Null (eigentlich omicron), tetartos; Bast, Gregor.

Cor. p. 851.

So ist beim Diophantus M° k a = 21.

Das indische grammatische Zeichen, Anuswara, hat allerdings die Form der indischen Null (Sunya).

Es bezeichnet aber nur eine Modification in der Betonung des nahe stehenden Vocals und ist dem Sunya gänzlich fremd.

In der einfachen Herzählung der verschiedenen Methoden, welche Völker, denen die indische Positions-Arithmetik unbekannt war, angewandt haben, um die multipla der Fundamental-Gruppen auszudrücken, liegt, glaube ich, die Erklärung von der allmäligen Entstehung des indischen Systems.

Wenn man 3568 perpendiculär und horizontal durch Indicatoren schreibt:

[Formel] , so erkennt man leicht, daß die Gruppenzeichen M, C ... weggelassen werden können.

Unsere indische Zahlen sind aber nichts anderes als die Multiplicatoren der verschiedenen Gruppen.

An diese alleinige Bezeichnung durch Einheiten (Multiplicatoren) erinnert ohnedies der Suanpan, mit seinen aufeinanderfolgenden Schnüren der Tausende, Hunderte, Zehner und Einheiten.

Diese Schnüre zeigten in dem gegebenen Falle 3, 5, 6 und 8 Kugeln.

Hier ist kein Gruppenzeichen sichtbar.

Die Gruppenzeichen sind die Stellen selbst, und diese Stellen (Schnüre) sind mit den Einheiten (Multiplicatoren) gefüllt.

Auf beiden Wegen der figurativen (schreibenden) und palpablen (betastenden) Arithmetik gelangt man also zur indischen Position.

Ist die Schnur leer, die Schicht im Schreiben offen, fehlt eine Gruppe (ein Glied der Progression), so wird die Leere graphisch durch den Hieroglyphen des Leeren, einen unausgefüllten Kreis: Sunya, sifron, tzüphra ausgefüllt.

Im Englischen hat sich cypher für Null erhalten, da in den abendländischen Sprachen, welche zero (sifron siron) für Null gebrauchen, Ziffer nur ein Zahlzeichen im Allgemeinen andeutet.

Im Sanscrit heißt nach Wilson Zahl, Quantität: sambhara.

Für die successive Vervollkommnung der Zahlenbezeichnung in Indien sprechen die Tamul-Ziffern, die durch 9 Zeichen der Einheiten und durch Gruppenzeichen für 10, 100 oder 1000 alle Werthe mittelst der links zugefügten Multiplicatoren ausdrücken; dafür sprechen endlich die sonderbaren arithmoi indikoi im Scholion des Mönchs Neophytos, welches in der Pariser Bibliothek (Cod. Reg. fol. 15.) aufbewahrt wird, und dessen gütige Mittheilung ich Herrn Prof. Brandis verdanke.

Die 9 Ziffern des Neophytos sind, außer der 4, ganz den persischen ähnlich.

Die Ziffern 1, 2, 3 und 9 finden sich sogar in ägyptischen Zahlen-Inschriften . Die 9 Einheiten werden 10fach, 100fach, 1000fach erhöht, indem man eine, zwei oder drei Nullen darüber schreibt, gleichsam also:

[Formel] , [Formel] , [Formel] , [Formel] . Denken wir uns statt der Nullen Puncte, so haben wir die arabischen Gobar-Ziffern.

Ich lasse hier das Scholion in einer wörtlichen lateinischen Uebersetzung folgen.

Der Mönch nennt fälschlich tzüphron ein indisches Wort.

Kosegarten p. 54.

Tzyphra est et vocatur id, quod cuivis litterae inde a decade et insequentibus numeris quasi onmikron inscribitur.

Significat autem hac Indica voce tale analogiam numerorum.

Ubi igitur scriptum est simile primae litterae alpha, pro unitate scriptae, atque superimpositum habet vel punctum vel quasi onmikron, addita altera figura litterae Indicae, differentiam et augmentum numerorum declarat.

E. g. pro primo Graeco numero, a scripto, apud Indos | sive linea recta perpendicularis, quando non habet superimpositum punctum vel onmikron, ipsum hoc denotat unitatem, ubi vero superimpositum sit punctum atque altera littera adscripta sit, figura quidem similis priori, significat XI, propter additamentum similis litterae atque superimpositum unum punctum.

Similiter etiam in reliquis litteris, quemadmodum adspectus docet.

Si vero plura habet puncta, plura denotat.

Quod intelligas, lector, et supputes unumquidque.

Von Position ist hier nicht mehr zu erkennen als in der Gobar- Methode.

Man schrieb 3006 also: [Formel] ; aber man mußte bald bemerken, daß dieselben Ziffern mit anderen Werthen wiederkamen, daß (wenn alle Gruppen ausgefüllt waren) in [Formel] [Formel] [Formel] 7 die so regelmäßig abnehmenden Puncte oder Nullen überflüssig wurden.

Diese Nullen erleichterten gleichsam nur das Aussprechen der Zahlen.

Entstand die Gewohnheit, die Nullen statt über die Ziffern, neben dieselben zu schreiben, so hatte man die jetzige indische Bezeichnung für die ungemischte Gruppe [Formel] . Wollte man zu [Formel] oder 3000, [Formel] addiren, so füllte man diejenige Null-Stelle aus, in welche 40, nach seinem die Gruppen-Stufe bezeichnenden Exponenten, hingehört.

Man erhielt so: 3040 und von den 3 Nullen, welche den Tausenden eigenthümlich sind, und welche auf die Linie mit den Einheiten herabgezogen wurden, blieben zwei, als leere, unausgefüllte Stellen.

Nach Neophytos Scholion sind also Nullen (wie Puncte im Gobar) Indicatoren für die Notation der aufsteigenden Gruppen, und man begreift, aus den eben entwickelten Betrachtungen, wie diese Nullen, bei Einführung des Stellenwerthes der Ziffern, in die Reihe herabkommen und sich dort erhalten konnten.

Wenn wir noch einmal den Blick auf die vielen, zum Theil so wenig bekannten, Notationsmethoden der Völker beider Continente zurückwerfen, so sehen wir 1° wenige Gruppenzeichen, und fast nur für n 2, n 3, n 4 ...., nicht für 2n, 3n, und 2 n 2, 2n 3 .... wie bei Römern und Tuskern X, C, M (daher alle Zwischenstufen, z. B. 2 n oder 2 n 2, durch Juxtaposition wie in XX oder CCC bezeichnet werden); 2° viele Gruppenzeichen nicht bloß für n, n 2 (iota und rho in den griechischen Buchstaben-Ziffern), sondern auch für 3 n oder 4 n 2 (in l und u), woraus große Heterogeneität der einzelnen Elemente im Ausdruck für 2 + 2 n + 2 n 2 entstehet (z. E. skb für 222); 3° Bezeichnung der Vielfachen der Fundamental-Gruppe und ihrer Potenzen (2 n, 3 n, 4 n 2, 5 n 2), entweder durch Hinzufügung (darüber und daneben) von Indicatoren zu den Gruppenzeichen (chinesisch: [Formel] , [Formel] , [Formel] , [Formel] ; indisch-tamulisch 2 X, 3 X, 4C, 5 C), oder durch stufenweise Bepunctung oder Accentuirung der ersten 9 Einheitszeichen, gleichsam [Formel] für 10, [Formel] für 20, [Formel] für 100, [Formel] für 1000, [Formel] für 40000, im Gobar, im Scholion des Neophytos, und in absteigender Sexagesimal-Scale der alexandrinischen Astronomen für [Formel] , [Formel] , [Formel] , in 1° 37' 37" 37''' ....

Wir haben gesehen, wie die Indicatoren (Multiplicatoren) der Ost-Asiaten und Bewohner der südlichen und indischen Halb-Insel, oder, wenn ursprünglich Gruppenzeichen für n, n 2, n 3 verschieden waren, wie die Accentuirung der Püthmenes im Gobar-Systeme, oder Scholion des Neophytos, ja endlich wie die Kugelschnüre des Suampan, in dem ein potenzirter Werth nur durch relative Lage der Schnur ausgedrückt wird, zum Stellenwerthe führen konnten.

Wir abstrahiren hier der Kürze wegen von den Gruppenzeichen des dazwischen laufenden quinaren Systems V, L, D ....

Ob das einfache indische Positions-System seinen Weg in die Abendländer durch den Aufenthalt des gelehrten Astronomen Rihan Muhammed ebn Ahmet Albiruni in Indien , oder durch maurische Zollbeamte an der nord-afrikanischen Küste und den Verkehr der italienischen Kaufleute mit diesen Zollbeamten gefunden hat, lassen wir hier unentschieden.

Eben so ungewiß ist es, trotz des Alters der indischen Cultur, ob das Positionssystem, welches so mächtig auf den Zustand der Mathematik eingewirkt hat, schon zur Zeit der macedonischen Expedition jenseits des Indus bekannt war.

Wie ganz anders, vervollkommnet, würden Archimedes, Apollonius von Perga und Diophantos die mathematischen Wissenschaften dem gelehrten Zeitalter der Haschemiten überliefert haben, wenn die Abendländer, 12 oder 13 Jahrhunderte früher, also durch Alexanders Heerzüge, die indische Positions-Arithmetik empfangen hätten.

Aber der von den Griechen durchzogene Theil von Vorder-Indien, das Penjab bis Palibothra hin, war, nach Herrn Lassen's gelehrten Untersuchungen, ein Wohnsitz wenig cultivirter Völker.

Von den östlicher wohnenden wurden sie selbst Barbaren genannt.

Erst Seleucus Nicator drang über die Grenze, welche Cultur und Uncultur schied, über den Fluß Sarasvatis bis zum Ganges vor.

Wir sehen aus den alten indischen Tamul-Ziffern, die durch beigesetzte Multiplicatoren 2n, 3n 2 .... ausdrücken, und daher außer den Zeichen für die ersten 9 Einheiten, eigene Zeichen für n, n 2, n 3 .... haben, daß in Indien, neben dem fast allein sogenannten indischen (oder arabischen) Zahlen-Systeme mit Stellenwerth, auch andere, ohne Stellenwerth, gleichzeitig existirt haben.

Vielleicht kamen Alexander und seine bactrischen Nachfolger bei ihrem temporären Vordringen nicht mit Nationen in Contact, bei welchen die Positions-Methode ausschließlich vorherrschte.

Nach des gelehrten, der griechischen und arabischen Astronomie gleich kundigen Orientalisten Sedillot Bemerkung.

Lassen, Comment. geogr. de Pentapot. p. 58.

Möchten die Spuren von dem Vielen, was noch zu entdecken übrig ist, recht bald ernster verfolgt werden, theils von Philologen, welche griechische, persische oder arabische Handschriften zu untersuchen Gelegenheit finden, theils von Reisenden, die sich in der indischen Halb- Insel selbst aufhalten.

Die bloße Pagination alter Codices aus der Sanscrit- Literatur kann zu merkwürdigen Beobachtungen führen.

Wer würde z. B. geahndet haben, daß es unter den Indiern, neben der Decimal-Positions-Arithmetik, ein Sedecimal-System ohne Position gab, daß gewisse indische Stämme meist nach Gruppen von 16, wie die amerikanischen Völker, die Kymren und Basken, nach Gruppen von 20 zählten.

Eine solche seltsame Numeration ist aber vor mehr als 10 Jahren in einem Codex des alt-indischen Gedichts Mahabharata (Cod. Reg. Paris. p. 178.) vom Herrn Professor Bopp aufgefunden, und mir zu der Zeit, als ich meine erste Abhandlung über die Zahlzeichen der Völker der Academie des inscriptions et belles lettres vorlegte, gütigst zur Bekanntmachung mitgetheilt worden.

Fünf und sechszig Seiten dieser Handschrift sind mit indischen Buchstabenzahlen paginirt, doch so, daß nur die Consonanten des Sanskrit-Alphabets (k für 1, kh für 2 ....) gebraucht werden, was dem bisher so allgemein verbreiteten Vorurtheile widerspricht, als fänden sich in Indien bloß Ziffern, nicht Buchstaben als Ziffern gebraucht, wie bei semitischen Stämmen und den Griechen.

Mit der 60sten Seite beginnt die wunderbare Sedecimal-Notation.

Man erkennt in den ersten 15 püthmenes kaum zwei Zeichen, -- die Sanskrit-Buchstaben sind etwa für 3 ein aspirirtes t und für 12 ein d, -- eben so wenig die eigentlich sogenannten indischen (arabischen) Zeichen.

Merkwürdig ist, daß die Ziffer 1 mit einer beigesetzten Null 4, die Ziffer 1 doppelt (zwei senkrechte Striche) mit einer beigesetzten Null 8 bedeuten, gleichsam Ruhepuncte, Mittelstufen des Sedecimal-Systems für [Formel] und [Formel] n; aber [Formel] von n (12) ist ohne Null und hat eine eigene Hieroglyphe, der arabischen 4 ähnlich.

Für die Normalgruppe selbst, 16, und für die multipla der Normalgruppe:

2 n, 3 n .... werden die bekannten bengalischen Ziffern gebraucht, so daß 16 die bengalische 1 mit einem vorgesetzten gekrümmten Striche; 32 die bengalische 2; 48 die bengalische 3 ist.

Die multipla von n sind also bloß wie Gruppen erster, zweiter, dritter .... Ordnung; die Zahlen 2 n + 4 oder 3 n + 6 (d. i. im Sedecimal-System 36 und 54) sind durch eine bengalische 2 und eine beigefügte Mahabharata-Ziffer 4, wie durch eine bengalische Ziffer 3 und eine beigefügte Mahabharata-Ziffer 6 bezeichnet: eine zwar sehr regelmäßige, aber unbehülflich verwickelte Art zu numeriren, deren Ursprung um so räthselhafter ist, da sie die Kenntniß der bengalischen Ziffern voraussetzt.

Unter den arabischen Handschriften sind besonders solche zu empfehlen, welche vom Zoll- und Finanzwesen, oder von der Arithmetik im Allgemeinen handeln, z. B. Abu Jose Alchindus de arithmetica indica; Abdelhamid Ben Vasee Abulphadl, de numerorum proprietaibus; Ahmad Ben Omar Alkarabisi liber de indica numerandi ratione; die indische Algebra des Katka; Mohammed Ben Lara de numerorum disciplina ( Casiri Bibl. arabicohispana T. I. p. 353. 405. 410. 426. 433.)

Si l'arithmetique de position n'est pas originaire de l'Inde, elle doit au moins y avoir existe de tems immemorial; car on ne trouve chez les Indiens aucune trace d'une notation alphabetique telle que la notation des Hebreux, des Grecs et des Arabes ( Delambre Hist. de l'astron. ancienne T. I. p. 543.).

Ich bediene mich hier dieses uneigentlichen Ausdruckes, bloß um das Zahlen-System, welches eine Abschrift des Gedichts darbietet, mit einem passenden Worte zu bezeichnen.